Wie berechne ich a und b? (Zylinderkoordinaten,Transformationsformel)

Question

Es sei \( 0<z_{0}<R \). Betrachten Sie die Menge \( M=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq R^{2}, z_{0} \leq z \leq R\right\} \) und stellen Sie \( M \) in Zylinderkoordinaten dar:
$$ M=\left\{\left(\begin{array}{c} r \cos \varphi \\ r \sin \varphi \\ z \end{array}\right): 0 \leq r \leq R_{0}, 0 \leq \varphi \leq 2 \pi, z_{0} \leq z \leq \sqrt{R^{2}-r^{2}}\right\} $$
mit \( R_{0}=\sqrt{R^{2}-z_{0}^{2}} . \) Mit der Transformationsformel ergibt sich
$$ \operatorname{vol}(M)=\iiint_{M} 1 d x d y d z=\left(\frac{a}{3} R^{3}-R^{2} z_{0}+\frac{b}{3} z_{0}^{3}\right) \cdot \pi $$
mit \( \boldsymbol{a}=\boldsymbol{} \)           und \( b= \)

Comments

Koordinatentrafo:

$$ \operatorname{vol}(M) = \int_0^{R_0} \int_0^{2\pi} \int_{z_0}^{\sqrt{R^2 - r^2}} 1 \cdot r ~\textrm dz \textrm d\varphi \textrm dr $$

Da die Grenzen von z von r abhängen musst du zuerst über z integrieren bevor du über r integrierst. Die Funktionaldeterminante( \( r \)) weiß man entweder auswendig oder schlägt sie nach:

https://de.wikipedia.org/wiki/Polarkoordinaten#Funktionaldeterminante_2

Dann ausrechnen. Falls man per Hand keine Lust hat gibt es dafür Programme:

https://www.integralrechner.de/

Nächstes Integral
Letztes Integral:

von Hand könnte man hier \( s = R^2-r^2 \) substituieren, dann ist \( \textrm ds = -2r \textrm dr \)

Answer 1

Aloha :)

Die Punktmenge \(M\) ist ja bereits in Zylinderkoordinaten angegeben. Ihr Volumen erhalten wir durch Integration über das Volumenemelent \(dV=r\,dr\,d\varphi\,dz\):$$V=\iiint\limits_MdV=\int\limits_{r=0}^{R_0}\;\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}\int\limits_{z=z_0}^{\sqrt{R^2-r^2}}r\,dr\,d\varphi\,dz$$

Da die obere Grenze der Integration über \(dz\) noch von \(r\) abhängt, muss die Integration über \(dz\) vor der Integration über \(dr\) erfolgen:$$V=\underbrace{\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}d\varphi}_{=2\pi}\cdot\int\limits_{r=0}^{R_0}r\cdot\underbrace{\left(\int\limits_{z=z_0}^{\sqrt{R^2-r^2}}dz\right)}_{=\left(\sqrt{R^2-r^2}-z_0\right)}dr=2\pi\int\limits_{r=0}^{R_0}r\left(\sqrt{R^2-r^2}-z_0\right)\,dr$$$$\phantom{V}=2\pi\left(\;\int\limits_{r=0}^{R_0}r\left(R^2-r^2\right)^{\frac12}\,dr-\int\limits_{r=0}^{R_0}z_0r\,dr\right)=2\pi\left(\left[-\frac13\left(R^2-r^2\right)^{\frac32}\right]_{r=0}^{R_0}-\left[\frac{z_0r^2}{2}\right]_{r=0}^{R_0}\right)$$$$\phantom{V}=2\pi\left(-\frac{\left(R^2-R_0^2\right)^{\frac32}}{3}+\frac{R^3}{3}-\frac{z_0R^2}{2}\right)$$

Nun ist laut Aufgabenstellung \(R_0=\sqrt{R^2-z_0^2}\), was wir in das Volumen einsetzen:$$\phantom{V}=2\pi\left(-\frac{\left(R^2-\left(R^2-z_0^2\right)\right)^{\frac32}}{3}+\frac{R^3}{3}-\frac{z_0R^2}{2}\right)=2\pi\left(-\frac{z_0^3}{3}+\frac{R^3}{3}-\frac{z_0R^2}{2}\right)$$$$\phantom{V}=\left(\frac{2R^3}{3}-R^2z_0+\frac{(-2)}{3}z_0^3\right)\pi$$

Damit ist dann \(a=2\) und \(b=-2\).

Comments

Wie kommst du auf die hoch 1/2 ?

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$$\sqrt x=x^{\frac12}$$