Wie überführe ich eine Bahnkurve in Zylinderkoordinaten?

Question

Folgende Trajektorie:R(t)=(v_senkrecht*t*cos(wt), v_senkrecht*t*sin(wt), v_parallel*t) soll in Zylinderkoordinaten überführt werden und dann die zurückgelegte Strecke von 0 bis t₁ bestimmt werden. Ich habe gemäß r=√(x²+y²⁾ , φ=arccos(x/r), z=z die neue Trajektorie in Zylinderkoordinaten als R(t)=(v_senkrecht*t, w*t, v_parallel*t) erhalten. Das zu berechnende Integral über den Betrag von R'(t)= V(t) von 0 bis t₁ wäre dann √(v_senkrecht²+w²+v_parallel²)*t₁, was nicht richtig sein kann. Was mache ich falsch? Ich bin mir unsicher ob ich das mit der Überführung in Zylinderkoordinaten richtig gemacht habe, bin da nicht mehr fit drin. Kann mir jemand erklären, wie ich für meine Trajektorie hier richtig Zylinderkoordinaten verwende?

Answer 1

allgemein sehen Zylinderkoordinaten so aus:

x=r*cos(φ)

y=r*sin(φ)

z=z

bei deiner Gleichung: φ=wt und r=v_s*t, z=v_p*t, R(t) ist also schon in Zylinderkoordinaten gegeben

Die Länge kannst bestimmst du ganz normal mit der Formel und nimmst dazu die R(t) aus der ersten Zeile:

R'(t)=(-v_sw*sin(wt),v_s*w*cos(wt),v_p)

Betrag davon=√[w^2*v_s^2+v_p^2]

Das ganze von 0 bis t₁ inetgrieren:

∫₀^t1 √[w^2*v_s^2+v_p^2]dt=t₁*√[w^2*v_s^2+v_p^2]

Comments

Die Gleichung die du benutzt habe ich ja selber bestimmt, die muss aber falsch sein, da nicht das richtige Ergebnis herauskommt. Die Gleichung in der ersten Zeile ist die Originale, die überführt werden soll.

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Die Gleichung die du bestimmt hast , habe ich nicht benutz, in meinem R(t) ist immer noch sin und cos drin, bei deiner Umformung sind diese Terme verschwunden.

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Ach jetzt sehe ich was du meinst, okay. Leider kann das Ergebnis aber nicht stimmen (ist ja das gleiche wie meines). Das Integral muss laut Aufgabe von t abhängen, da als Hinweis folgende Formel gegeben wurde: ∫₀^t1dx√(a²+x²)= ... (hier steht ein längerer Ausdruck, macht glaube ich keinen Sinn den jetzt anzugeben, sobald ich auf das richtige Integral komme kann ichs denke ich lösen).

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opps ich weiß worans liegt xD. Man muss mit Produktregel ableiten 

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Oh ja du hast Recht :D

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Also 

x'(t)=v_s*(cos(wt)-wt*sin(wt))

y'(t)=v_s*(sin(wt)+wt*cos(wt))

z'(t)=v_p

--> |R'(t)|=√[t^2*v_s^2*w^2+v_p^2]

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Dann kannst du t*v_s*w=x substituieren und den Hinweis für das Integral verwenden :)