Punkt hat selben Abstand

Question

Aufgabe:

Fur v =(v1       ∈           R²  sei v⊥= (-v2

              v2)                                         v1).

Dann gilt offensichtlich v ⊥ v⊥ und IIvII₂ = IIv⊥II₂.
Gegeben seien nun a; b ∈ R²  mit a ≠ b. Wir setzen
M_a,b = (a + b) / 2 + span { (b - a)⊥ }.

Man nennt die Gerade M_a,b die Mittelsenkrechte von a und b, denn sie verläuft durch den Mittelpunkt (a + b) / 2 in der Richtung senkrecht zum Verbindungsvektor b - a.
Zeigen Sie:
M_a,b = {p ∈ R² : II a - p II² = II b - pII_{2 }}

d. h. die Mittelsenkrechte besteht genau aus jenen Punkten, die zu a denselben Abstand haben wie zu b.

Problem/Ansatz:

Könnte man hier vielleicht mit den Kongruenzsätzen arbeiten? Oder gibt es vielleicht noch andere Ideen?

Answer 1

M_a,b = (a + b) / 2 + span { (b - a)⊥ }.

Das heißt, für jedes \(p \in M_{a,b}\) gibt es ein \(r\in \mathbb{R}\) mit

        \( p = \frac{1}{2}(a+b) + r\cdot (b-a)_\perp\)

Wegen \(a,b\in \mathbb{R}^2\) können wir Koordinaten verwenden,

         \(\begin{pmatrix}p_x\\p_y\end{pmatrix} = \frac{1}{2}\cdot\left(\begin{pmatrix}a_x\\a_y\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}b_x\\b_y\end{pmatrix}\right) + r\cdot \left(\begin{pmatrix}b_x\\b_y\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}a_x\\a_y\end{pmatrix}\right)_\perp\)

und zusammenfassen

      \(\begin{pmatrix}p_x\\p_y\end{pmatrix} = \frac{1}{2}\cdot\begin{pmatrix}a_x+b_x\\a_y+b_y\end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix}b_x-a_x\\b_y-a_y\end{pmatrix}_\perp\).

Anwendung der Definition von \(v_\perp\) ergibt dann

      \(\begin{pmatrix}p_x\\p_y\end{pmatrix} = \frac{1}{2}\cdot\begin{pmatrix}a_x+b_x\\a_y+b_y\end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix}a_y-b_y\\b_x-a_x\end{pmatrix}\).

Zeigen Sie: M_a,b = {p ∈ R² : II a - p II² = II b - pII₂}

Zeige

         \(\left\Vert\begin{pmatrix}a_x\\a_y\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}p_x\\p_y\end{pmatrix} \right\Vert_2 = \left\Vert\begin{pmatrix}b_x\\b_y\end{pmatrix}- \begin{pmatrix}p_x\\p_y\end{pmatrix} \right\Vert_2\).