Bestimmen Sie die Gerschgorin-Kreisscheiben der Matrizen

Question

Gegeben sind die folgenden drei Matrizen A = \( \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} \) , B = \( \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 5/4 & 1 \end{pmatrix} \) , C = \( \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 5/4 & 1 \end{pmatrix} \)

Bestimmen Sie die Gerschgorin-Kreisscheiben der Matrizen und zeichnen Sie diese jeweils in ein eigenes Koordinatensystem. Wo liegen die Eigenwerte der Matrizen?

Answer 1

Hallo,

zu \( A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 2&0 \end{pmatrix} \) sind die Gerschgorin-Kreise gegeben durch

\( \mathcal R_1 = \lbrace{ z\in\mathbb{C}\, :\, |z| \leq 1 \rbrace}, \quad \mathcal R_2 = \lbrace{ z\in\mathbb{C}\, :\, |z| \leq 2 \rbrace}\), sowie  \( \mathcal C_1 = \lbrace{ z\in\mathbb{C}\, :\, |z| \leq 2 \rbrace}, \quad \mathcal C_2 = \lbrace{ z\in\mathbb{C}\, :\, |z| \leq 1 \rbrace}\). \( \Rightarrow \mathcal{S}_R\coloneqq R_1 \cup R_2 = \lbrace{ z\in\mathbb{C}\, :\, |z| \leq 2 \rbrace},  \mathcal{S}_C\coloneqq C_1 \cup C_2 = \lbrace{ z\in\mathbb{C}\, :\, |z| \leq 2 \rbrace}\)

Nach Gerschgorin gilt für die Eigenwerte \( \lambda_1,\lambda_2\in\mathbb{C} \) von A nun \( \lambda_1,\lambda_2\in\mathcal{S}_R\cap\mathcal{S}_C =\lbrace{ z\in\mathbb{C}\, :\, |z| \leq 2 \rbrace}\)