Umformen eines Polynoms in ein Taylor Polynom bzw eine Taylor Reihe

Question

Aufgabe:  was muss ich machen um dass Polynom f(x) =x^3-x^2 - 5  in der Form f(x) =(x-1)^3+2(x-1)^2 +(x-1)-5  schreiben kann. Es handelt sich hierbei um ein Taylor Polynom bzw. eine Taylor Reihe

Problem/Ansatz:Das Problem ist, dass ich nicht weiß, wie ich von der ersten Schreibweise zur zweiten Schreibweise komme.

Answer 1

Hey Atideva23,

Was du suchst nennt sich "Polynome nach Potenzen entwickeln". Das geht zum Beispiel mit einer Taylorreihe. Eine Taylorreihe hat die Form \(f(x)=\sum\limits_{k=0}^\infty \dfrac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k\)

Wenn du also einfach nur \(x_0=1\) in die Ableitungen von deinem Polynom einsetzt, dann bekommst du:

$$f(1)=-5,\quad f'(1)=1,\quad f''(1)=4,\quad f'''(1)=6,\quad f^{(k)}(1)=0\ \forall k\geq4$$

Eingesetzt in die Taylorreihe hast du:

$$f(x)=-5+(x-1)+2(x-1)^2+(x-1)^3$$

Eine etwas schnellere Alternative liefert dir das Horner Schema, das war aber zu umständlich hier "aufzumalen" xD

Viel Spaß!
MathePeter

Comments

Vielen Dank, dass war sehr gut.

Answer 2

Hallo,

$$f(x) =x^3-x^2 - 5 = ((x-1)+1)^3-((x-1)+1)^2 -5$$

und berechne die Klammern mit dem binomischen Lehrsatz.