Menge in der komplexen Zahlenebene

Question

Aufgabe:

M = { z ∈ ℂ : | z - 1 - i | = | z + 1 | }

Problem/Ansatz:

Ich habe dazu leider keine Lösung, könnte mir daher bitte jemand sagen, ob mein Ergebnis stimmt?

Ich habe da raus, dass diese Menge quasi eine Gerade mit y = - 2x + 0,5 ist.

Answer 1

Hey andiwei,

dein Ergebnis ist komplett RICHTIG! Hier die Begründung:

Da der Betrag \(|z-z_0|\) den Abstand der komplexen Zahl \(z\) zur komplexen Zahl \(z_0\) beschreibt, liegen in der Menge \(M = \left\{z\in\mathbb{C}:\ | z - 1 - \mathrm{i} | = | z + 1 | \right\}\) alle komplexen Zahlen, deren Abstand zu \(1+\mathrm{i}\) gleich dem Abstand zu \(-1\) ist. Wenn man sich die beiden Punkte der komplexen Zahlenebene, also \(P_1=(1,1)\) und \(P_2=(-1,0)\), mal aufmalt, sieht man direkt, dass es unendlich viele Punkte gibt, die den gleichen Abstand zu beiden haben. Alle diese Punkte liegen sogar auf einer Geraden.

Um die Gleichung der Gerade aufzustellen braucht man nur zwei Punkte oder einen Punkt und den Anstieg der Gerade. Ein Punkt wäre der, der genau zwischen \(P_1\) und \(P_2\) liegt, also \(P_{\text{M}}=\frac{1}{2}(P_1+P_2)=(0,\frac12)\). Der Anstieg der Gerade ist einfach der negative Kehrwert vom Anstieg zwischen den beiden Punkten \(P_1\) und \(P_2\), denn diese Gerade soll ja senkrecht auf der Verbindung von den beiden stehen. Damit hat die Gerade den Anstieg \(m=-2\).

Und ja, damit hast du Recht. Diese Gerade lässt sich schreiben als \(y=-2x+0,5\).

Viel Spaß!
MathePeter

Answer 2

Hallo

|z-(1+i)| gibt den Abstand von z vom Punkt 1+i an, |z-(-1)| gibt den Abstand zum Punkt 1 an. die Mittelsenkrechte auf die Strecke von 1+i zu -1 gibt alle z an, die von 1  und 1+i denselben Abstand haben. der Mittelpunkt liegt bei i, die Steigung der Strecke ist 1/2, also hat die Mittelsenkrechte die Gleichung y=-2x+i

also zeichne das und überzeuge dich oder rechne nochmal neu m denn deine -2x ist richtig, die 0,5 aber der Schnitt mit der x Achse, nicht der y Achse.

Gruß lul

Comments

der Mittelpunkt liegt bei i

... liegt bei \(\frac i2\)

Answer 3

Hallo,

könnte mir daher bitte jemand sagen, ob mein Ergebnis stimmt?

wenn Du es ein wenig anders hinschreibst - ja:$$z = t + (0,5 - 2t)i \quad t \in \mathbb R$$mache doch einfach die Probe:$$\begin{aligned}  | z - 1 - i | &= | z + 1 |\\| t + (0,5 - 2t)i - 1 - i | &\stackrel ?= | t + (0,5 - 2t)i + 1 | \\ |(t-1) + (-0,5-2t)i| &= |(t+1) + (0,5 - 2t)i| \\ \sqrt{t^2 - 2t + 1 + 0,25 + 2t + 4t^2} &= \sqrt{t^2 +2t + 1 + 0,25 - 2t + 4t^2} \\ \sqrt{5t^2 + \frac 54} &= \sqrt{5t^2 + \frac 54}  \space \checkmark \end{aligned}$$