Zeigen sie, dass y0(x) zwar die Differentialgleichung, aber nicht die Randbedingungen erfüllt.

Question

Randwertproblem:

                                                            ( xy ' )'  - \( \frac{y}{x} \)  =  f(x)

                                                            y(a) = 0 ,    0 < a < 1

                                                            y(1) = 1

Bestimmen Sie y₀(x):= \( \lim\limits_{a\to\ o} \) y_a(x)

und zeigen sie, dass y₀(x) zwar die Differentialgleichung, nicht aber die Randbedingungen erfüllt.

Answer 1

Hallo,

(xy')' -y/x=1/x


x y'' +y' -y/x=1/x |*x

x^2 y'' +x y' -y=1 ->Euler DGL

Ansatz: y= xk ->2 Mal ableiten ->in die DGL einsetzen

->Charakt. Gleichung:

k2 -1=0

k1,2= ±1

yh=C₁/x +C₂x

Partikuläre Lösung via Wronsky Determinante bestimmen

yp= -1

y=yh+yp= C₁/x +C₂x -1

Anfangsbedingung einsetzen

-------->dann kann der Grenzwert bestimmt werden und Du bekommst y₀(x)