Fragen zu Gleichungen und steilsten Anstieg

Question

Aufgabe:

a) Warum müssen steilster Anstieg und steilster Abfall einer skalaren Funktion f zweier Unbekannten immer genau in entgegengesetzte Richtung verlaufen?
b) Die Funktion z = f (x, y) habe an der Stelle (a, b) den Grenzwert g. Was bedeutet diese Aussage hinsichtlich der Zugehörigkeit der Stelle zum Definitionsbereich?
c) Wie schneidet der Graph derFunktion z=f(x,y)=x+y−4 die Koordinatenebenen im IR3?

Problem/Ansatz:

zu a) Ich vermute, dass die Funktion differenzierbar sein muss. Das bedeutet, es gibt eine zweidimensionale Ebene, welche die Funktion approximiert - und da ist es schwierig einen steilsten An- und Abstieg zu realisieren, die nicht entgegengesetzt liegen.

zu b) Verstehe ich nicht!!!

zu c) Ich würde Jeweils x,y und z gleich Null setzen und die entsprechende Gerade beschreiben. Aber die Gleichung hat unendlich viele Lösungen!

Answer 1

zu b) Verstehe ich nicht!!!  Fällt mir auch schwer. Eine Funktion kann sowohl an einer Stelle,

die zum Definitionsbereich gehört, als auch an einer , die nicht zum Definitionsbereich gehört einen

einen Grenzwert haben. Vielleicht soll die richtige Antwort sein:

NICHTS

zu c) Ich würde Jeweils x,y und z gleich Null setzen und die entsprechende Gerade beschreiben. Aber die Gleichung hat unendlich viele Lösungen!.  Ja, das stimmt, das sind Geraden in den Koordinatenebenen, die

sog. Spurgeraden .  Also etwa in der xy-Ebene:

z=0 ==>     x+y - 4 = 0  Also die Gerade in der xy-Ebene

die durch die Punkte (0;4;0) und ( 4;0;0) geht.

Comments

kann man auch das jeweils nach xyz umstellen und ein lgs lösen? dann habe ich ja dann auch die punkte? aber gibt ja unendlich viele lsg

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Es gibt unendlich viele Lösungen, weil die Gerade unendlich viele Punkte

enthält.

Also etwa in der xy-Ebene hast du ja

z=0 ==>     x+y - 4 = 0   ==>   y =  4-x . (koorigiert!)

Dann kannst du sagen:

Die gemeinsamen Punkte der gegebenen Ebene und der xy-Ebene

sind alle Punkte ( x ; 4-x ; 0 ) mit x∈ℝ.

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Ja danke wie kommst du auf 45-x ?

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Ja danke wie kommst du auf 45-x ?

Ich vermute hier einen Tippfehler

x + y - 4 = 0 → y = 4 - x

Also die Punkte (x | 4 - x | 0)

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Okay danke! Gibt es nur diesen einen Punkt?

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Tippfehler ist ja geklärt.    (x | 4 - x | 0) ist nicht ein Punkt,

sondern es gibt für jeden Wert von x einen anderen Punkt. Und wenn man für alle

reellen Zahlen durchläuft, dann durchlaufen diese Punkte die ganze

Spurgerade.

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Ah okay danke

Also hat die Funktion unendlich viele Lösungen auf der y Ebene ?!

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Die Gleichung hat unendlich viele Lösungen.

Geometrische Interpretation:

Die gegebene Ebene und die xy-Ebene haben unendliche

viele gemeinsame Punkte. Diese bilden die Spurgerade.

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c) Wie schneidet der Graph derFunktion z=f(x,y)=x+y−4 die Koordinatenebenen im IR3?

Beachtet aber das das ja nur die Spurgerade in der xy-Ebere war. Ebenso gibt es die Spurgerade in der xz- und in der yz-Ebene.

Alle 3 Spurgeraden sind zu bestimmen.

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für xz (x,4+x,0)

yz (x,04-x)

ist das so richtig?

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habe für xy (x,4-x)

xz 0,4-x

yz (4-y,0,0)

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yz wohl so: x=0 ==>  z=y-4 also Punkte

( 0 ; y ; y-4 )

Answer 2

für xz (x,4+x,0)
yz (x,04-x)
ist das so richtig?

Nöö

für die xz-Ebene (x, 0, x - 4)
für die yz-Ebene (0, y, y - 4)