DGL 1. Ordnung lösen

Question

Aufgabe:

Lösen Sie die folgenden Dgl. 1.-Ordnung mit Hilfe von Substitutionen bzw. Trennen der Variablen.

y'(1+x²) = xy

Problem/Ansatz:

Soweit ich weiß, muss ja y' auf der linken Seite alleine stehen. Wenn ich die Gleichung also umforme, komme ich zu

y'/y = x/(1+x²) und weiß von hier aus nicht mehr weiter, wie ich rechnen soll.

Answer 1

y'(1+x^2) = xy

y' ersetzen durch  dy / dx gibt

dy / dx  * ( 1 + x^2 ) = x*y

<=>  dy / y =   x / (1 +x^2 ) * dx

<=>  1/y  *  dy  =   x / (1 +x^2 ) * dx

Integrieren

 ∫ 1/y  *  dy  =  ∫ x / (1 +x^2 ) * dx

  ln(y) + C = ln(x^2 + 1 )  / 2

==>  y * e^c = √(x^2 + 1 )

==>   y = √(x^2 + 1 )  / e^c .

Answer 2

Hallo,

y'(1+x^2) = xy

y'=dy/dx

dy/dx (1 +x^2)= xy |*dx

dy(1 +x^2)= xy dx |: y

dy((1 +x^2))/y= x dx  |:1+x^2)

dy/y= x/(1+x^2) dx

ln|y|= (1/2) ln(x^2+1) +C

y=C₁ √(x^2+1)

Comments

Danke vielmals!