Differentialgleichung 1. Ordnung mit x(t) als Summe im Nenner

Question

 

ich bin in einer Altklausur eben auf diese Differentialgleichungen gestoßen:

1/(sin(t)*cos(t))* x'(t) = 1/(x(t)+2)
und bekomme sie einfach nicht gelöst. Man soll in der Aufgabe auch das Lösungsverfahren nennen, auch das schaffe ich nicht, da ich keines der Verfahren aus der Vorlesung hier anwenden kann. 
Könntet ihr mir vielleicht helfen, wie ich hier am besten vorgehe? Ich habe mittlerweile von sämtlichen Umstellen und irgendwann sogar einer nutzlosen Integration alles durch und komme nicht auf einen grünen Zweig. 
Danke jetzt schon mal!
Ps: Enzschuldigung dür sie miserable Darstellung der Gleichung, mein Computer funktioniert aktuell nicht und am Handy weiß ich nicht, wie ich Formeln formatiere.

Answer 1

Du hast 2 Möglichkeiten der Lösung

a) Trennung der Variablen ->ich denke , das wurde behandelt ?

b) als exakte DGL

 

Answer 2

Lösung durch Trennung der Variablen:

$$x({ t }_{ 0 })={ x }_{ 0 }\\ \frac { 1 }{ sin(t)cos(t) }x'(t)=\frac { 1 }{ x(t)+2 }\\\frac { 1 }{ sin(t)cos(t) }\frac { dx }{ dt }=\frac { 1 }{ x(t)+2 }\\\frac { 2 }{ sin(2t)}\frac { dx }{ dt }=\frac { 1 }{ x(t)+2 }\\2(x(t)+2)dx=sin(2t)dt\\\int_{{ x }_{0 }}^{x}2(u+2)du=\int_{{ t }_{0 }}^{t}sin(2v)dv\\2[\frac { 1 }{ 2 }x^2+2x-\frac { 1 }{ 2 }{ x }_{0 }^2-2{ x }_{0 }]=-\frac { 1 }{ 2 }[cos(2t)-cos(2{ t }_{0 })]\\\frac { 1 }{ 2 }x^2+2x-\frac { 1 }{ 2 }{ x }_{0 }^2-2{ x }_{0 }=-\frac { 1 }{ 4 }[cos(2t)-cos(2{ t }_{0 })]\\\frac { 1 }{ 2 }x^2+2x-\frac { 1 }{ 2 }{ x }_{0 }^2-2{ x }_{0 }+\frac { 1 }{ 4 }[cos(2t)-cos(2{ t }_{0 })]=0\\x^2+4x-{ x }_{0 }^2-4{ x }_{0 }+\frac { 1 }{ 2 }[cos(2t)-cos(2{ t }_{0 })]=0\\x(t)=-2\pm\sqrt { -\frac { 1 }{ 2 }cos(2t)+\frac { 1 }{ 2 }cos(2{ t }_{0 })+{ x }_{0 }^2+4{ x }_{0 }^2+4 }\\x(t)=-2\pm\sqrt { -\frac { 1 }{ 2 }cos(2t)+C }\\\text{mit } C:=\frac { 1 }{ 2 }cos(2{ t }_{0 })+{ x }_{0 }^2+4{ x }_{0 }^2+4$$