Parameter einer variablen Kostenfunktion bestimmen

Question

Aufgabe:

Ich habe eine variable Kostenfkt. mit folgender Gestalt: KV= ax^3+bx^2+cx

Der Wendepunkt der Funktion liegt bei x=80 und y= 5760. Die Steigung der bei x= 120 liegenden Tangente beträgt 56.

Aus diesen Informationen soll ich nun drei unabhängige Gleichungen aufstellen und daraus die drei Parameter der variablen Kostenfunktion herleiten.

Problem/Ansatz:

Ich tue mich gerade noch mit dem richtigen Ansatz hier schwer. Für den Wendepunkt muss ich die 2.Ableitung finden und bei der Tangentensteigung handelt es sich ja um die 1. Ableitung der Funktion. Aber wie setze ich die angegebenen Werte korrekt ein. Könnte mir hier jemand behilflich sein?

LG Benny

Answer 1

Hallo Benny,

\(K_v(x)=ax^3+bx^2+cx\\K_v'(x)=3ax^2+2bx+c\\K_v''(x)=6ax+2b\)

Die drei Gleichungen erhältst du aus den Informationen

Der Wendepunkt der Funktion liegt bei x=80 und y= 5760

K(80) = 5760

K''(80) = 0

Die Steigung der bei x= 120 liegenden Tangente beträgt 56.

K'(120) = 56

Kommst du damit weiter?

Gruß, Silvia

Comments

Also ich habe jetzt alles eingesetzt und komme auf die drei Formeln:

1. 512000a + 6400b+ 80c = 5760

2. 480a + 2b = 0

3. 43200a + 240b+c = 56

Liege ich so weit schon mal richtig? Und im nächsten Schritt müsste ich dann nach den einzelnen Parametern auflösen, fange ich da am besten mit der zweiten Gleichung an?

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Ja, deine Gleichungen sind richtig. Welches Verfahren möchtest du anwenden, Gauß?

Dann würde ich die 1. Gleichung mit -\( \frac{3}{3200} \) multiplizieren und zur 2. Gleichung addieren, anschließend die 1. Gleichung mit -\( \frac{27}{320} \) multiplizieren und zur 3. addieren.

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An der Auflösung des Gleichungssystems komme ich grad nicht weiter. Habe es erst mit dem Gleichsetzungsverfahren probiert. Bei dem Gausverfahren bin ich mir nicht so sicher, habe da jetzt zwei Gleichungen raus -4b - 3/40c = -27/5 und -300b - 23/4c = -430.

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Das sieht gut aus. Jetzt noch die 2. Gleichung mit -75 multiplizieren und zur 3. addieren.

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Also ich komme am Ende jetzt auf folgende Werte für die Parameter: a= 0,01 b= -2,4 und c= 200. Liege ich damit richtig?

LG Benny

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Ja, alles richtig.

Answer 2

Ich empfehle zur Kontrolle http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/steckbrief.htm

512000a + 6400b + 80c = 5760

480a + 2b = 0 --> b = - 240·a

43200a + 240b + c = 56

setze b in I und III ein

512000a + 6400(- 240·a) + 80c = 5760 --> 12800·a - c = -72

43200a + 240(- 240·a) + c = 56 --> 14400·a - c = -56

nun II - I

1600·a = 16 --> a = 0.01

damit jetzt noch die anderen unbekannten ausrechnen

14400·0.01 - c = -56 --> c = 200

b = - 240·0.01 --> b = -2.4