Wie würde die Ebenengleichung aussehen, wenn E parallel zur z Achse ist und durch die Punkte (0/0/0) und (1/1/0) geht

Question

Weiß jemand ob ich was falsch gemacht habe und kann vielleicht erklären wie es richtig geht?

Aufgabe:

Wie würde die Ebenengleichung aussehen, wenn E parallel zur z Achse ist und durch die Punkten (0/0/0) und (1/1/0) geht?
Problem/Ansatz:

Ich bin mir nicht sicher aber ich würde eigentlich so vorgehen:

1: ax1+bx0+cx0=d

2:ax0+bx1+cx0=d

D.h wir hätten die beiden gleichung für a bzw. x und b bzw. y

X: a=d

Y: b=d

(d darf man sich ja soweit ich weiß aussuchen)

D=1

X: a=1

Y: b=1

Und das würde die Ebenengleichung:

E: x+y=1

Ergeben

Das Problem dabei ist, dass ich den Punkt (0/0/0) nicht verwendet habe (muss ich ih nüberhaupt verwenden?)

Wieß jemand ob ich was falsch gemacht habe und kann jemand vielleicht erklären wie es richtig geht?

Answer 1

ax+by+cz=d

(0|0|0) → 0=d

Du darfst d nur frei wählen, wenn es ungleich 0 ist.

(1|1|0) → a+b=0 → b=-a

ax-ay+cz=0

Da z beliebig sein kann, z.B. z=1 oder z=2, erhalten wir

ax-ay+1c=0

ax-ay+2c=0

Subtrahieren beider Gleichungen liefert c=0, also

ax-ay=0

a(x-y)=0

Da a nicht 0 sein darf:

x-y=0

:-)

Answer 2

Wie würde die Ebenengleichung aussehen wenn sie Parallel zur z Achse ist und durch die Punkten (0/0/0) und (1/1/0) geht

Du kannst die Ebenengleichung direkt aufstellen

E: X = [0, 0, 0] + r * [1, 1, 0] + s * [0, 0, 1]

Musst du eine Koordinatengleichung aufstellen ?

Der Normalenvektor wäre dann

N = [1, 1, 0] ⨯ [0, 0, 1] = [1, -1, 0]

E: x - y = 0