Beweis der Winkelfunktionen

Question

Aufgabe:

Ich soll die Beziehung für die Winkelfunktion beweisen, indem ich die Eulersche Formel \( e^{jφ} \)=cos(φ)+isin(φ) auswerten soll.

--> sin(φ)=\( \frac{e^{iφ}-e^{-iφ}}{2j} \)

Problem/Ansatz:

Bisher habe ich die Differenz der Polarformen gleichgesetzt und versucht die Gleichung nach Sinus umzuformen. Komme aber nicht weiter, weil wenn ich subtrahieren würde Sinus wegfallen würde. Was mache ich falsch?

Ich bedanke mich im Voraus

\( e^{iφ} \)-\( e^{-iφ} \)  =cos(φ)-i sin (φ) - cos (φ) + i sin(φ)          | :2j

\( \frac{e^{iφ}-e^{-iφ}}{2j} \) = cos(φ) - sin (φ) - cos (φ) + sin(φ)    | - cos (φ)

\( \frac{e^{iφ}-e^{-iφ}}{2j} \) = - sin (φ) + sin(φ)

Answer 1

\(\begin{aligned} & \phantom{=}\frac{e^{i\varphi}-e^{-i\varphi}}{2i}\\ & =\frac{e^{i\varphi}-\frac{1}{e^{i\varphi}}}{2i}\\ & =\frac{\left(\cos\varphi+i\sin\varphi\right)-\frac{1}{\cos\varphi+i\sin\varphi}}{2i}\\ & =\frac{\frac{\left(\cos\varphi+i\sin\varphi\right)^{2}}{\cos\varphi+i\sin\varphi}-\frac{1}{\cos\varphi+i\sin\varphi}}{2i}\\ & =\frac{\:\frac{\left(\cos\varphi+i\sin\varphi\right)^{2}-1}{\cos\varphi+i\sin\varphi}\:}{2i}\\ & =\frac{\left(\cos\varphi+i\sin\varphi\right)^{2}-1}{2i\left(\cos\varphi+i\sin\varphi\right)}\\ & =\frac{\left(\cos^{2}\varphi+2i\cos\varphi\sin\varphi-\sin^{2}\varphi\right)-1}{2i\left(\cos\varphi+i\sin\varphi\right)}\\ & =\frac{\left(\cos^{2}\varphi+2i\cos\varphi\sin\varphi-\sin^{2}\varphi\right)-\left(\cos^{2}\varphi+\sin^{2}\varphi\right)}{2i\left(\cos\varphi+i\sin\varphi\right)}\\ & =\frac{\cos^{2}\varphi+2i\cos\varphi\sin\varphi-\sin^{2}\varphi-\cos^{2}\varphi-\sin^{2}\varphi}{2i\left(\cos\varphi+i\sin\varphi\right)}\\ & =\frac{2i\cos\varphi\sin\varphi-2\sin^{2}\varphi}{2i\left(\cos\varphi+i\sin\varphi\right)}\\ & =\frac{2i\sin\varphi\left(\cos\varphi-\frac{1}{i}\sin\varphi\right)}{2i\left(\cos\varphi+i\sin\varphi\right)}\\ & =\frac{2i\sin\varphi\left(\cos\varphi+i\sin\varphi\right)}{2i\left(\cos\varphi+i\sin\varphi\right)}\\ & =\sin\varphi\end{aligned}\)

Answer 2

\(\dfrac{e^{i\varphi}-e^{-i\varphi}}{2i}\\ =\dfrac{(\cos\varphi+i\sin\varphi)-(\cos(-\varphi)+i\sin(-\varphi))}{2i}=\dfrac{\cos\varphi+i\sin\varphi-\cos(-\varphi)-i\sin(-\varphi)}{2i} =\ldots              \)

Es gilt: \(\cos(-\varphi)=\cos\varphi\) und \(\sin(-\varphi)=-\sin\varphi\)

\(\ldots=\dfrac{\cos\varphi+i\sin\varphi-\cos\varphi+i\sin\varphi}{2i}=\dfrac{2i\sin\varphi}{2i}\\ =\sin\varphi               \)