Beweis einer kompakten Menge in einem metrischen Raum

Question

Hallo, ich weiß, dass $$\left(x_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}$$ eine konvergente Folge in einem metrischen Raum (M,d) ist. Ich soll zeigen, dass $$M=\left\{x_{n}: n \in \mathbb{N}\right\} \cup\left\{\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}\right\}$$ eine kompakte Menge ist.

Meine Idee wäre es zu zeigen, dass M die Definition einer kompakten Menge erfüllt, indem ich eine offene Überdeckung von M in (M, d) wähle, aber da ich das noch nie gemacht habe, bin ich mir leider unsicher, wie ich das machen soll.

Comments

Wie wäre es denn mit beschränkt und abgeschlossen ?

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Habe diese Frage schon einmal beantwortet:

https://www.mathelounge.de/731341/zeige-dass-xn-n-lim-limits-to-infty-eine-kompakte-menge-ist

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Dankeschön für den Verweis, die habe ich leider nicht gefunden!

Answer 1

dass M die Definition einer kompakten Menge erfüllt, indem ich eine offene Überdeckung von M in (M, d) wähle

Eine offene Menge dieser Überdeckung enthält \(\lim\limits_{n\to\infty}x_n\). In dieser Menge liegen alle bis auf endlich viele Glieder der Folge. Die endlich vielen Glieder, die noch nicht durch diese Menge überdeckt sind, werden durch endlich viele andere Mengen der Überdeckung überdeckt.