Lösen sie das Anfangswertprobleme und geben Sie die zugehörigen maximalen Defnitionsbereiche an

Question

Lösen Sie die Anfangswertprobleme und geben Sie die maximalen Definitionsbereiche an

a) \( \left(x^{2}-3\right) y^{\prime}+x y+\sqrt{x^{2}-3}=0, \quad y(2)=1 \)

b) \( y^{\prime} \sin (x)+y \cos (x)=e^{-x}, \quad y\left(\frac{\pi}{4}\right)=1 \)

Kann mir hier jemand bei der Lösung behilflich sein?

Answer 1

Hallo,

b) Lösung durch Variation der Konstanten , wie a auch

y' sin(x) + y cos(x)= e^(-x)

1.) Lösung der homog. DGL:

y' sin(x) + y cos(x)=0

dy/dx sin(x) +y cos(x)=0

dy/dx sin(x) = -y cos(x)

dy/y= -cos(x)/sin(x) +C

ln|y|= -ln|sin(x| +C

yh= C₁/sin(x)

2.)C1 =C(x) setzen

yp= C(x) /sin(x)

yp' = C'(x) /sin(x)

3.)yp und yp' in die DGL einsetzen und vereinfachen

4.y= yh +yp

5. AWB einsetzen

6. Definitionsbereich der Lösung bestimmen