Kettenregel Anwendungen cosinus

Question

Aufgabe: folgende Funktion soll mit der Kettenregel abgeleitet werden.

f(x) = cos^4 * (3-2x)

Meine Frage

Wie verhält sich der Exponent n=4 wenn ich die Kettenregel anwende habe da nämlich ein Problem.

Angenommen ich substituiere u = u(x) = cos(3-2x)

=> F(u) = u^4 => F'(u) = 4*u^3

Das dann Rücksubstitutieren : 4*cos^3(3-2x)

Answer 1

F(u) = u^4 => F'(u) = 4*u^3 aber wegen Kettenregel noch *u'

und das wäre cos(3-2x)' und da hast du nochmal Kettenregel  - sin(3-2x) * (-2 )

also  f ' (x) = 4*cos(3-2x)^3 * ( - sin(3-2x))*(-2)

Answer 2

f ( x ) = [ cos (3-2x) ] ^4

f ´( x ) = 4 * [ cos  (3-2x) ] ^3 * (-sin(3-2*x)) * -2
f ´( x ) = 8 * [ cos  (3-2x) ] ^3  *  sin(3-2*x)

Answer 3

Aloha :)

Es heißt ja Kettenregel, weil du die Ableitungen miteinander verkettest:

$$\left[\cos^4(3-2x)\right]'=\underbrace{4\cos^3(3-2x)}_{=\text{äußere}}\cdot\underbrace{\left[\cos(3-2x)\right]'}_{=\text{innere}}$$$$\phantom{\left[\cos^4(3-2x)\right]'}=4\cos^3(3-2x)\cdot\underbrace{\left(-\sin(3-2x)\right)}_{=\text{äußere}}\cdot\underbrace{\left[3-2x\right]'}_{=\text{innere}}$$$$\phantom{\left[\cos^4(3-2x)\right]'}=-4\cos^3(3-2x)\sin(3-2x)\cdot(-2)$$$$\phantom{\left[\cos^4(3-2x)\right]'}=8\cos^3(3-2x)\sin(3-2x)$$

Comments

Danke für die Antworten.

Den Exponenten könnte man aber auch 8cos(3-2x)^3 schreiben wie in den Antworten zuvor richtig?

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Nunja, die Konvention ist eigentlich, dass man \(\cos^3(3-2x)\) schreibt. Dass der Exponent hinten seht, ist eher ungewöhnlich und könnte vom Leser falsch interpretiert werden. Dann würde ich eher Klammern setzen: \((\cos(3-2x))^3\).