Aloha :)$$f(x)=4\sin(5x)\quad;\quad x\in\left[0;\frac{\pi}{5}\right]$$
Wir bestimmen zuerst die Größe der Gesamtfläche:$$F=\int\limits_0^{\pi/5}dx\int\limits_0^{f(x)}dy=\int\limits_0^{\pi/5}dx\,f(x)=\int\limits_0^{\pi/5}4\,\sin(5x)dx=\left[-\frac{4}{5}\cos(5x)\right]_0^{\pi/5}=\frac{8}{5}$$Die x-Koordinate des Schwerpunktes ist:
$$x_s=\frac{1}{F}\int\limits_0^{\pi/5}x dx\int\limits_0^{f(x)}dy=\frac{1}{F}\int\limits_0^{\pi/5}x\,dx f(x)$$$$\phantom{x_s}=\frac{5}{8}\int\limits_0^{\pi/5}4x\sin(5x)\,dx=\frac{5}{2}\int\limits_0^{\pi/5}\underbrace{x}_{=u}\underbrace{\sin(5x)}_{=v'}\,dx$$$$\phantom{x_s}=\frac{5}{2}\left[\underbrace{x}_{=u}\underbrace{\left(-\frac{\cos(5x)}{5}\right)}_{=v}\right]_0^{\pi/5}-\frac{5}{2}\int\limits_0^{\pi/5}\underbrace{1}_{=u'}\underbrace{\left(-\frac{\cos(5x)}{5}\right)}_{=v}dx$$$$\phantom{x_s}=\frac{5}{2}\cdot\frac{\pi}{25}+\frac{1}{2}\int\limits_0^{\pi/5}\cos(5x)dx=\frac{\pi}{10}+\frac{1}{2}\left[\frac{1}{5}\sin(5x)\right]_0^{\pi/5}=\frac{\pi}{10}$$
Die y-Koordinate des Schwerpunktes ist:$$y_s=\frac{1}{F}\int\limits_0^{\pi/5}dx\int\limits_0^{f(x)}y\,dy=\frac{1}{F}\int\limits_0^{\pi/5}dx\,\frac{1}{2}f^2(x)$$$$\phantom{y_s}=\frac{5}{8}\int\limits_0^{\pi/5}\frac{1}{2}\cdot16\sin^2(5x)\,dx=5\int\limits_0^{\pi/5}\sin^2(5x)dx=5\int\limits_0^{\pi/5}\frac{1}{2}\left(1-\cos(10x)\right)dx$$$$\phantom{y_s}=\frac{5}{2}\int\limits_0^{\pi/5}dx-\frac{5}{2}\int\limits_0^{\pi/5}\cos(10x)dx$$$$\phantom{y_s}=\frac{5}{2}\cdot\frac{\pi}{5}-\frac{5}{2}\left[\frac{1}{10}\sin(10x)\right]_0^{\pi/5}=\frac{\pi}{2}$$
Der Schwerpunkt liegt daher bei$$(x_s;y_s)=\left(\frac{\pi}{10}\;;\;\frac{\pi}{2}\right)$$
~plot~ 4*sin(5x)*(x>=0)*(x<=pi/5) ; {pi/10 | pi/2 } ; [[ 0 | pi/5+0,05 | 0 | 4+0,2]] ~plot~
