Uneigentliches Integral e^(-x)x^(n-1)

Question

Aufgabe:

Γ(n)= ∫(0 bis ∞) e^-xx^n-1dx

a) Es wird angenommen, dass das Integral konvergiert. Nun soll mit partieller Integration gezeigt werde, dass gilt:   ∀n∈ℕ : Γ(n+1) = n·Γ(n)

b) Warum konvergiert das uneigentliche Integral ∀n∈ℕ? Bestimmt den genauen Wert für Γ(n) ∀n∈ℕ.

c) Beweist, warum das Integral ∫(-∞ bis 0) e^-xx^n-1dx  nicht konvergiert ∀n∈ℕ.

Könnte jemand die Aufgabe für mich lösen oder mir einen Ansatz geben? Sitze schon eine Weile daran und komme leider nicht weiter.

Answer 1

(a)

Es gilt:$$\Gamma (x)=\int_{0}^{\infty}t^{x-1}e^{-t}\, dt=\left .\frac{t^x}{x}e^{-t}\right |_0^{\infty}+\frac{1}{x}\int_{0}^{\infty}t^xe^{-t}\, dt=\frac{1}{x}\Gamma (x+1)$$ Also folgt, dass \(\Gamma(x+1)=x\cdot \Gamma (x)\).

(b)

Dies zeigt man mit dem Majorantenkriterium. Es gibt eine von \(n\) abhängigie Konstante \(C\) mit \(t^n\leq C\cdot e^{t/2}\) für alle \(t\in [1,\infty )\). Diese Ungleichung ist wahr, denn es gilt:$$\quad \quad \quad \quad \quad\quad\quad\quad \quad\quad \quad \frac{t^n}{e^{t/2}}=2^n\frac{(t/2)^n}{e^{t/2}}\xrightarrow{t\to \infty}0$$ Damit hat \(\int_{0}^{\infty}t^{x-1}e^{-t}\, dt\) eine konvergente Majorante, gegeben durch \(C\int_{1}^{\infty}e^{-t/2}\, dt\)

Comments

Danke dir, hast mir echt weiter geholfen :)

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Nichts zu danken!