Uneigentliches Integral richtig bestimmen, achsensymmetrisch

Question

Hallo an alle!

Ich bin bei einer Aufgabe stecken geblieben. Das Integral hier ist divergent, aber ich kann nicht nachvollziehen warum es divergiert. Das Integral ist wieder achsensymmterisch, weshalb ich mit 2 multipliziert habe. Aber bei mir konvergiert das ganze. Was mache ich hier falsch??

Aufgabe:

\( \int \limits_{-\infty}^{\infty} e^{2|x+1|} d x \)

Problem/Ansatz:

\( \begin{array}{l}\int \limits_{-\infty}^{\infty} e^{2|x+1|} d x=\int \limits_{-\infty}^{\infty} e^{2|x+1|} d x+\int \limits_{0}^{\infty} e^{2|x+1|} d x \\ =\lim \limits_{b \rightarrow \infty} 2 \cdot \int \limits_{0}^{b} e^{2|x+1|} d x-\lim \limits_{b \rightarrow \infty}\left[\frac{2}{2} \cdot e^{2|x+1|}\right]_{0}^{b} \\ \lim \limits_{b \rightarrow \infty}[\frac{2}{2} \underbrace{e^{2|b+1|}}_{0}-\frac{2}{2} e^{2|0+1|}]=e^{2}\end{array} \)

Comments

Warum ist e^{2|b+1|} mit b gegen Unendlich Null?

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Weil e^∞ = 0 ist

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Hmm ...

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Ist die Überlegung falsch?

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Ja, rechne mal nach

e^2, e^3, e^4 ...

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Achsooo nein, e^unendlich strebt gegen unendlich, während e^-unendlich gegen 0 strebt??

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So ist es. :-)

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D.h. also, dass das Ergebnis unendlich ist, also der Grenzwert ist unendlich, deswegen divergiert das ganze, richtig?

Und meine Berechnung, Schreibweise (lim usw.) etc. sind auch korrekt, oder?

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Und meine Berechnung, Schreibweise (lim usw.) etc. sind auch korrekt, oder?

Nicht ganz. Die Funktion ist symmetrisch zu \(x=-1\) und nicht zu \(x=0\). Daher gilt:$$f(-1+(x+1)) = f(-1-(x+1)) \implies f(x)= f(-2-x)$$Auf das finale Ergebnis hat diese Verschiebung keinen Einfluß, da \(\infty = \infty + 2\) ;-)

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Wie hätte ich erkennen sollen, dass die Funktion symmetrisch zu x=-1 ist? Indem man die Nullstellen berechnet, oder? Und da wo die Nullstelle ist, ist auch die Symmetrie zu finden?

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Wie hätte ich erkennen sollen, dass die Funktion symmetrisch zu x=-1 ist?

am einfachsten am Graphen (s. Antwort von Roland)

Ansonsten ist \(x=-1\) die Unstetigkeitsstelle (bezogen auf die erste Ableitung) der Betragsfunktion \(b(x)=|x+1|\)

~plot~ abs(x+1) ~plot~

Indem man die Nullstellen berechnet, oder?

wenn Du die Nullstelle der Betragsfunktion \(b(x)\) meinst - Ja!

Und da wo die Nullstelle ist, ist auch die Symmetrie zu finden?

wenn das das einzige Argument der Gesamtfunktion ist (das ist hier der Fall), dann - Ja!

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Wir dürfen leider keinen Graphen verwenden, also kein Geogebra usw.

Wie kann man rechnerisch erkennen, an welcher Stelle die Symmetrie ist?

Und die 1. Ableitung der Betragsfunktion ist doch 1 und nicht -1

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Wir dürfen leider keinen Graphen verwenden, also kein Geogebra usw.

darum geht es nicht. Mit etwas Übung solltest Du Dir den Graphen von \(|x+1|\) auch im Kopf vorstellen können. Berechne notfalls auch ein paar Funktionswerte.

Und die 1. Ableitung der Betragsfunktion ist doch 1 und nicht -1

eben nicht für \(x \le -1\)! Dort springt die Ableitung von \(-1\) auf \(1\). Deshalb 'Unstetigkeitsstelle bezogen auf die 1.Ableitung'. Genau dieser Wechsel sorgt ja für die Symmetrie ähnlich einer geraden Funktion. Nur eben nicht bei \(x=0\), sondern hier bei \(x=-1\).

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Ich versteh das mit \(x \le -1\). Also wir haben ja zwei Fälle: x+1 > 0 und x+1 ≤ 0

Und bei beiden haben wir als Nullstelle -1. Daher ist die Sprungstelle bei -1. Kann ich mir das ganze auch so herleiten? Da ich sonst nicht erkennen kann, wo genau die Symmetrie ist.

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Und bei beiden haben wir als Nullstelle -1. Daher ist die Sprungstelle bei -1. Kann ich mir das ganze auch so herleiten?

Ja - im Prinzip schon. Wichtig dabei ist, dass bei gleicher 'Entfernung' von \(x=-1\) dasselbe heraus kommt.

Beispiel: von \(x=-1\) bis \(3\) ist es \(4\) 'weit' weg. Genau wie von \(x=-5\) bis \(-1\) - also muss gelten:$$b(3) = b(-5) \quad \text{Test:}\space |3+1| = |-5+1| \,\checkmark$$bzw. allgemein für die Symmetriestelle \((-1)\)$$b(x)=b(2\cdot(-1) - x) \quad\text{Test:}\space|x+1|=|-2-x+1| = |-(x+1)|\,\checkmark $$

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Das konnte ich leider noch nicht nachvollziehen..

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Das konnte ich leider noch nicht nachvollziehen..

was kannst Du nicht nachvollziehen, dass \(3-(-1)=4\) ist, oder was genau?

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Also dieses Beispiel mit dem Entfernung. Du meintest ja, dass bei gleicher Entfernung von x=-1  dasselbe heraus kommt. Was meinst du da genau?

Also diese Erklärung: Beispiel: von \(x=-1\) bis \(3\) ist es \(4\) 'weit' weg. Genau wie von \(x=-5\) bis \(-1\) -

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Ich meine, dass von zwei Punkte auf der X-Achse, die zu dem Punkt \(x=-1\) dieselbe Enntfernung haben, die X-Werte dieser Punkte den identischen Funktionswert liefern. Zunächst mal bei \(b(x)=|x+1|\). Und dann natürlich auch bei \(e^{|x+1|}\).

Oben siehst Du zwei Strecken. Eine grüne und eine blaue. Beide sind gleich lang. Eine geht in positive Richtung zum Punkt \(x=3\) und eine in negative Richtung zum Punkt \(x=-5\). Diese beiden Punkte sind vom Punkt \((-1|\,0)\) gleich weit entfernt. Und beide liefern den gleichen Funktionswert - im Beispiel \(=4\).

Wenn dies der Fall ist, dann ist die Funktion symmetrisch zu \(x=-1\)!

Den rechten Punkt kannst Du mit der Maus verschieben.

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Achsooo, so meintest du das, alles klar. Jetzt ist das Beispiel mit der Entfernung verständlich, vielen Dank. Aber wie gesagt, ich darf keine Tools verwenden, deshalb muss ich einen Rechenweg finden, damit ich mir das ganze nicht grafisch zeichnen muss.

Außerdem habe ich die Symmetriestelle ebenfalls nicht verstanden. Wozu diese folgende Rechnung?

Warum \(b(x)=b(2\cdot(-1) - x) \quad\text{Test:}\space|x+1|=|-2-x+1| = |-(x+1)|\,\checkmark \) ?

Ich habe die Rechnung ehrlich gesagt auch nicht verstanden

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Aber wie gesagt, ich darf keine Tools verwenden, ...

Ich schrieb es bereits! Aber ich schreibe es nochmal: Die Tools sind es nicht.

Es geht um das Verständnis des ganzen und es ist nicht schwer, sich vorzustellen, wie eine Funktion \(b(x)=|x+1|\) verläuft. Im schlimmsten Fall mache man sich eine kleine (Werte-)Tabelle.

Außerdem habe ich die Symmetriestelle ebenfalls nicht verstanden. Wozu diese folgende Rechnung? Warum $$b(x)=b(2\cdot(-1) - x) \quad\text{Test:}\space|x+1|=|-2-x+1| = |-(x+1)|\,\checkmark $$

Ok, ich habe es nicht erklärt. Aber warum auch, es ist relativ einfach, wenn man sich mal klar macht, was Symmetrie - hier Spiegelung an einer Achse - formal bedeutet. Hast Du das mal versucht?

Da ist also ein Punkt \(s=-1\) und man könnte sich überlegen, wie man ein \(x_1=3\) an diesem Punkt \(s\) 'spiegelt'. Oben habe ich schon gezeigt, dass die Abstände zu \(s=-1\) gleich sein sollen, um die Symmetrie zu erreichen. Der Abstand von \(x_1=3\) zu \(s=-1\) ist \(3-(-1)=4\). Damit man dann zur gespiegelten Position \(x_2\) kommt, muss man doch von \(s=-1\) diese \(4\) wieder abziehen - oder?

macht \(x_2 = -1 - 4 = -5\). Soweit so gut. Jetzt mal ganz allgemein: der Abstand zu \(x_1\) ist \(x_1-(-1) = x_1+1\), Das ziehe ich von \(s=-1\) ab: $$x_2 = -1 - (x_1+1) = -1-x_1-1 = -2-x_1$$Bzw. für ein allgemeines \(s\) ist der Abstand \((x_1 - s)\). Wieder von \(s\) abziehen, um zu \(x_2\) zu kommen, gibt dann$$x_2 = s - (x_1- s) = s - x_1 + s = 2s - x_1$$War das jetzt schwer? Mathematik besteht darin, sich selbst so etwas zu übelegen! Formeln lernen hat mit Mathe nichts zu tun!

Und obiges gilt ganz allgemein. Ist eine Funktion \(b(x)\) symmetrisch zu \(s=-1\), so muss gelten$$b(x)= b(2\cdot (-1) - x) $$... und umgekehrt.

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Deine Erklärungen sind zwar einleuchtend, aber ich weiß nicht, ob ich das ganze durchblickt hab'.

Ich weiß nicht wie ich rechnen soll, sry

\( \begin{array}{l}\int \limits_{-\infty}^{\infty} e^{2|x+1|} d x=\int e^{2|-1-x-1|} d x \\ \int \limits_{-\infty}^{\infty} e^{|2|-2-x \mid} d x=\int \limits_{0}^{\infty} e^{2|-2-x|}+\int \limits_{0}^{\infty} e^{2|-2-x|}\end{array} \)

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Ich würde das jetzt so rechnen:

\( \int \limits_{0}^{\infty} e^{2|(-1-x)+1|} d x+\int \limits_{0}^{\infty} e^{2|(-1+x)+1|} d x \)

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Ich würde das jetzt so rechnen: ...

Ok - das ist nicht falsch, zumindest was das zu erwartende Ergebnis betrifft, aber es trifft nicht ganz das Problem.

Fakt ist: die Symmetrieachse liegt bei \(s=-1\). Und wir haben bereits fest gestellt, dass auf beiden Seiten der Symmetrieachse mit dem gleichem Ergebnis zu rechnen ist. Also braucht man nur eine Seite rechnen und dann verdoppelt.

Und man beginnt natürlich bei \(s=-1\) zu integrieren (wo sonst?). Wenn man jetzt um den Betrag \(b\) 'weit' integrierst, so wie Du in Deiner Frage angesetzt hast, dann bekommst Du:$$I(b)= \int\limits_{x=-1-b}^{-1} e^{2|x+1|}\,\text{d}x + \int\limits_{x=-1}^{-1+b} e^{2|x+1|}\,\text{d}x \quad\quad b\gt 0$$wegen dieser Wahl der Grenzen ist der Term in Betragstrichen im ersten Integral immer kleiner und im zweiten immer größer als 0. Und wegen der Symmetrie müssen beide Integrale gleich groß sein - also kann man schreiben$$\begin{aligned}I(b) &= 2 \int\limits_{x=-1}^{-1+b} e^{2(x+1)}\,\text{d}x \\ &= 2\left[\frac{1}{2} e^{2(x+1)}\right]_{x=-1}^{-1+b} \\ &= e^{2b} - e^{0} \\&=e^{2b} - 1\end{aligned}$$und wie es nach$$I= \lim\limits_{b \to \infty} I(b) =  \lim\limits_{b \to \infty} \left(e^{2b}  -1\right)$$... weiter geht, sollte klar sein.

Man hätte oben für den Wert \(b\) bzw. \(-1+b\) auch gleich \(\infty\) als Grenze angeben können, denn \(-1 + \infty= \infty\).

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Aber dann hätte ich ja einfach folgendermaßen (siehe unten) rechnen können ohne da jetzt diese Überlegungen zu machen. Natürlich ist es wichtig, das gerechnete zu verstehen. Im Prinzip kommt man ja auf das gleiche Ergebnis, aber ob das so mathematisch korrekt ist, weiß ich nicht. Beispielsweise bei ähnlichen Aufgaben habe ich auch nie die grenzen angepasst, also ich hab immer ∞ bzw. b als Grenze eingesetzt. Meine Frage ist also: Kann ich das ganze auch so aufschreiben, denn man kommt ja auf dasselbe Ergebnis. Wäre diese Variant auch korrekt?

\( \begin{array}{l}\lim \limits_{b \rightarrow \infty} \int \limits_{-1}^{b} e^{2|x+1|} d x=\lim \limits_{b \rightarrow \infty} 2 \cdot \int \limits_{-1}^{b} e^{2|x+1|} d x \\ =\lim \limits_{b \rightarrow \infty} 2 \cdot\left[\frac{1}{2} e^{2|x+1|}\right]_{-1}^{b}= \\ =\lim \limits_{b \rightarrow \infty}\left[e^{2|b+1|}-e^{2|-1+1|}\right]= \\ =\infty-1=\infty \Rightarrow \text { divergent }\end{array} \)

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Wäre diese Variant auch korrekt?

Du meinst wahrscheinlich $$\lim \limits_{b \rightarrow \infty} \int \limits_{\color{red}-b}^{b} e^{2|x+1|} d x=\lim \limits_{b \rightarrow \infty} 2 \cdot \int \limits_{-1}^{b} e^{2|x+1|} d x = \dots$$das ist korrekt, weil \(-1+\infty= \infty\) ist (ich hatte glaub' ich das schon erwähnt; s.o.)

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Endlich habe ich die Aufgabe jetzt gecheckt, die Reise war nicht einfach :D

Aber was mich noch verwirrt: Warum ist die untere Grenze -b? Ich brauch das ja nicht hinschreiben, denn wir wissen ja, dass die Symmetrie an der Stelle x=-1.

Dann kann ich ja direkt als untere Grenze -1 hinschreiben

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Aber was mich noch verwirrt: Warum ist die untere Grenze -b?

Weil das Integral links vom ersten Gleichheitszeichen noch das Ausgangsintegral ist. Und dieses lief von \(-\infty\) bis \(+\infty\).

Ich zitiere Dich:

Aufgabe:\( \int \limits_{-\infty}^{\infty} e^{2|x+1|} d x \)

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die Reise war nicht einfach :D

mal was in eigener Sache: Danke, dass Du durchgehalten hast!

Für uns Helfende ist es sonst frustrierend, wenn sich auf Nachfragen nicht wieder gemeldet wird. Und das ist leider der Normalfall :-(

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Achso, verstehe.

Eigentlich muss ich mich bei dir bedanken für deine Zeit und Geduld, vielen vielen Dank Werner-Salomon!! Bin wirklich froh, dass du dir Zeit genommen hast und mit mir die Aufgabe schrittweise durchgegangen bist, sonst hätte ich die Aufgabe nicht verstanden. :)

Mir ist es auch wichtig, dass ich die Aufgaben wirklich verstehe, deswegen stelle ich auch viel zu viele Fragen. Kann manchmal nervig sein, aber nur so komme ich weiter (da mir Mathe ja nicht sehr leicht fällt).

Und noch zum Abschluss eine letzte Frage: Fällt dir spontan eine ähnliche Rechnung auf? Ich würde gerne noch eine ähnliche Aufgabe rechnen, aber ich habe keine weiteren Übungsbeispiele mehr.

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Fällt dir spontan eine ähnliche Rechnung auf?

so spontan nicht. Du kannst dasselbe aber z.B. mit rationalen Funktionen machen. Nach einigem Probieren fand ich diesen Typ$$f\left(x\right)=\frac{\left|x-s\right|}{\left(x-s\right)^{2}+b} \quad\quad 0\lt b \lt |s|$$Wähle einen Wert für \(s\) und dann mit den Einschränkungen oben einen für \(b\) und berechne das Integral \(\int f(x)\text{d}x\) von minus bis plus undendlich.

ist aber schwieriger als die Aufgabe oben!

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Vielen Dank für die Aufgabe Werner-Salomon!

Ich habe die obige Aufgabe erneut ausgerechnet, diesmal habe ich einen anderen Rechenweg genommen. Kann ich das auch so rechnen? Denn so tue ich mich leichter um ehrlich zu sein.

\( \begin{array}{l}\int \limits_{-\infty}^{\infty} e^{2|x+1|} d x=\int \limits_{-\infty}^{-1} e^{-2 x-2} d x+\int \limits_{-1}^{\infty} e^{2 x+2} d x \\ \lim \limits_{a \rightarrow-\infty} \int \limits_{a}^{-1} e^{-2 x-2} d x+\lim \limits_{b \rightarrow \infty} \int \limits_{-1}^{b} e^{2 x+2} d x \\ \lim \limits_{a \rightarrow-\infty}\left[-\frac{1}{2} e^{-2 x-2}\right]_{a}^{-1}+\lim \limits_{b \rightarrow \infty}\left[\frac{1}{2} e^{2 x+2}\right]_{-1}^{b} \\ \lim \limits_{a \rightarrow-\infty}\left[-\frac{1}{2} e^{0}+\frac{1}{2} e^{-2 a-2}\right]= \\ =-\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \infty \\ \lim \limits_{b \rightarrow \infty}\left[\frac{1}{2} e^{2 \cdot b+2}-\frac{1}{2} e^{0}\right]=\frac{1}{2} \cdot \infty-\frac{1}{2} \\ \int \limits_{-\infty}^{\infty} e^{2|x+1|} d x=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \infty+\frac{1}{2} \infty-\frac{1}{2} \\ =-1+\infty=\infty\end{array} \)

Answer 1

Hast du dir mal Gedanken über den Graphen gemacht? Der sieht so aus:

Answer 2

Aloha :)

Der Integrand ist zwar achsensymmetsich, aber nicht zur \(y\)-Achse:$$f(x)\coloneqq e^{2|x+1|}\implies f(-x)=e^{2|-x+1|}\ne e^{2|x+1|}=f(x)$$Der Integrand ist achsensymmetrisch zur Achse \(x_0=-1\):$$f(-1-x)=e^{2|(-1-x)+1|}=e^{2|-x|}=e^{2|x|}=e^{2|(-1+x)+1|}=f(-1+x)$$

~plot~ e^(2*abs(x+1)) ; [[-4|2|0|40]] ; x=-1 ~plot~

Daher reicht es nicht aus, das doppelte Integral von \(0\) bis \(\infty\) zu betrachten, sondern du müsstest das doppelte Integral von \((-1)\) bis \(\infty\) betrachten.

Da der Exponent \(2|x+1|\ge0\) für alle \(x\in\mathbb R\) ist, würde ich einfach schreiben:$$\int\limits_{-\infty}^\infty e^{2|x+1|}\,dx\ge\int\limits_{-\infty}^\infty e^0\,dx=\int\limits_{-\infty}^\infty1\,dx\to\infty$$

Answer 3

https://www.wolframalpha.com/input?i=integrate+e%5E%282%7Cx%2B1%7C%29+from+-+infinit+to+%2B+infinit

oder hier mit Weg:

https://www.integralrechner.de/

Comments

Ja, ich kenne den Rechner, aber der hilft mir leider auch nicht weiter, da ich einen anderen Rechenweg verwende.

Kann ich die obige Aufgabe auch folgendermaßen berechnen, also so?

\( \begin{array}{l}\int \limits_{-\infty}^{\infty} e^{2|x+1|} d x=\int \limits_{-\infty}^{-1} e^{-2 x-2} d x+\int \limits_{-1}^{\infty} e^{2 x+2} d x \\ \lim \limits_{a \rightarrow-\infty} \int \limits_{a}^{-1} e^{-2 x-2} d x+\lim \limits_{b \rightarrow \infty} \int \limits_{-1}^{b} e^{2 x+2} d x \\ \lim \limits_{a \rightarrow-\infty}\left[-\frac{1}{2} e^{-2 x-2}\right]_{a}^{-1}+\lim \limits_{b \rightarrow \infty}\left[\frac{1}{2} e^{2 x+2}\right]_{-1}^{b} \\ \lim \limits_{a \rightarrow-\infty}\left[-\frac{1}{2} e^{0}+\frac{1}{2} e^{-2 a-2}\right]= \\ =-\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \infty \\ \lim \limits_{b \rightarrow \infty}\left[\frac{1}{2} e^{2 \cdot b+2}-\frac{1}{2} e^{0}\right]=\frac{1}{2} \cdot \infty-\frac{1}{2} \\ \int \limits_{-\infty}^{\infty} e^{2|x+1|} d x=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \infty+\frac{1}{2} \infty-\frac{1}{2} \\ =-1+\infty=\infty\end{array} \)