Wie kann man das schnell feststellen?

Question

Aufgabe: Injetkiv, bijektiv, surjektiv

Problem/Ansatz: f : (-pi/2, pi/2) → R:f(x) = sin(x)

Wie kann man das schnell feststellen ?

gibt es ein Tipp dafür?

Comments

Steht da als Zielmenge wirklich \(\mathbb R\) ?

Sinnvoll wäre die Aufgabe mit der Zielmenge \((-1;1)\).

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ja da steht wirklich R

Answer 1

Die Sinusfunktion liefert nur Werte aus dem Intervall \(\left[-1;+1\right]\). Die angegebene Funktion \(f\) ist also sicher nicht surjektiv, also auch nicht injektiv.

Comments

Die Sinusfunktion liefert nur Werte aus dem Intervall \(\left[-1;+1\right]\). Die angegebene Funktion \(f\) ist also sicher nicht surjektiv, also auch nicht injektiv.

Statt injektiv muss es natürlich bijektiv heißen.

Answer 2

Definition der Sinusfunktion am Einheitskreis lesen.

Answer 3

Die Funktion ist in \((-\pi /2,\pi/2)\) streng monoton wachsend,

also injektiv.

Answer 4

Wenn ich das richtig verstehe ist die Funktion f: (-\( \frac{π}{2} \),\( \frac{π}{2} \)) → ℝ, x ↦ sin(x) gegeben.

Man könnte die Eigenschaften wie folgt feststellen (wenn es falsch ist korrigiert mich bitte):

Es seien beliebige x₁,x₂∈(-\( \frac{π}{2} \),\( \frac{π}{2} \)) mit x₁≠x₂ . Man nehme an es gilt f(x₁)=f(x₂). Also sin(x₁)=sin(x₂) und somit x₁=arcsin(sin(x₂)) und folglich auch x₁=x₂. Also folgt aus der Annahme ein Widerspruch mit der Voraussetzung, weshalb sie falsch war und es gilt f(x₁)≠f(x₂). Weil x₁≠x₂ ⇒ f(x₁)≠f(x₂) ist f injektiv.

Es existiert mindestens ein y∈ℝ für welches mit jedem beliebigen x∈(-\( \frac{π}{2} \),\( \frac{π}{2} \)) y≠f(x) gilt. Evident ist der größte Wert, den die Sinusfunktion annimmt 1 und der kleinste -1, demnach gibt es genügend reelle Zahlen sodass gilt f((-\( \frac{π}{2} \),\( \frac{π}{2} \)))≠ℝ, damit ist f nicht surjektiv.

Da f nicht surjektiv ist, ist f nicht bijektiv.

Comments

Du meinst wohl eher:

da f nicht surjektiv ist, ist f nicht bijektiv.

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Ja richtig, danke, ich habe es schnell korrigiert.

Answer 5

Aloha :)

Wir untersuchen den Patienten:$$f\colon\left(-\frac\pi2;\frac\pi2\right)\to\mathbb R\,,\,f(x)=\sin(x)$$

zu 1) Surjektivität

Eine Funktion ist surjektiv, wenn jedes Element der Zielmenge mindestens 1-mal getroffen wird. Da die Sinus-Funtion nur Werte aus dem Intervall \([-1;1]\) liefert, wird z.B. das Element \(2\) aus der Zielmenge \(\mathbb R\) nicht getroffen. Daher ist die Funktion nicht surjektiv.

zu 2) Injektivität

Eine Funktion ist injektiv, wenn jedes Element der Zielmenge höchstens 1-mal getroffen wird. Die Funktion \(f(x)\) ist über ihrem gesamten Definitionsbereich \((-\frac\pi2;\frac\pi2)\) differenzierbar und die Ableitung ist stets positiv:$$f'(x)=\cos(x)>0\quad\text{für }x\in\left(-\frac\pi2;\frac\pi2\right)$$Daher ist \(f(x)\) stetig und streng monoton wachsend, sodass kein Element der Zielmenge mehr als 1-mal getroffen wird. Die Funktion ist also injektiv.

zu 3) Bijektivität

Eine Funktion ist bijektiv, wenn jedes Element der Zielmenge genau 1-mal getroffen wird, d.h. wenn die Funktion sowohl surjektiv als auch injektiv ist. Das die Funktion nicht surjektiv ist, ist sie also auch nicht bijektiv.