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Beweisen Sie, dass das Polynom \( X^{11}+10 \in \mathbb{Q}[X] \) irreduzibel ist.



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Du musst zeigen, dass f(x) = x^11 + 10 keine Nullstelle in ℚ hat. (Nullstellenkriterium).

Der Trick ist das Irreduzibilitätskriterium von Eisenstein. Schau gern erst mal selbst nach. Zur Auflösung schreib ich dir die Antwort aber auch noch mal ausführlich auf.

Das ist falsch. Das Polynom \(f(x)=1+2x^2+x^4 =(1+x^2)^2\) ist reduzibel, besitzt aber keine Nullstelle in \(\mathbb{Q}\). Dass das besitzen von Nullstellen äquivalent zu Reduziblität ist, gilt nur in algebraisch abgeschlossenen Körpern.

Das wäre eine gute Idee gewesen für Polynome vom Grad 2 oder 3. Dann hätte man auch mit dem Satz über rationale Nullstellen argumentieren können. Hier geht das allerdings leider nicht, wie schon hairbeRt geschrieben hat mit schönem Gegenbeispiel.

2 Antworten

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Beste Antwort

Eisensteinkriterium: Ist \(f(x)=a_nx^n+\ldots+a_1x+a_0\) ein Polynom von Grad \(n>1\), und existiert eine Primzahl \(p\), sodass \(p\nmid a_n\), \(p^2\nmid a_0\) und \(p|a_0,a_1,\ldots,a_{n-1}\), dann ist \(f\) irreduzibel über \(\mathbb{Q}\).


Kennst du eine Primzahl, die \(10\) teilt, ihr Quadrat dies aber nicht tut, und die kein Teiler von \(1\) ist?

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Hey hp,

Dass das Polynom \(X^{11}+10\in\mathbb{Q}[X]\) irreduzibel ist, folgt direkt aus dem "Irreduzibilitätskriterium von Eisenstein".

Ein Polynom aus \(\mathbb{Q}\) (mit teilerfremden Koeffizienten) ist nämlich dann irreduzibel, wenn du ein Primelement aus \(\mathbb{Q}\) finden kannst, sodass:

(1) Diese Primzahl teilt jeden Koeffizienten, bis auf den Leitkoeffizienten \(a_n\)
(2) Das Quadrat dieser Primzahl teil nicht das Absolutglied \(a_0\)



Für dein Polynom funktioniert zum Beispiel die Primzahl \(p=5\in\mathbb{Q}\). Denn (1) sie teilt alle Koeffizienten \(a_0,a_1,\dots,a_{10}\) bis auf den Leitkoeffizienten \(a_{11}=1\) und (2) ihr Quadrat \(p^2=5^2=25\) teilt nicht das Absolutglied \(a_0=10\).

Da so eine Primzahl existiert, ist das Polynom irreduzibel.



Viel Spaß!
MathePeter

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Verdammt, du warst schneller :p

Finde wir sind ein gutes Team. Kriegst einen Like, weil mir deine zusammenfassende Frage richtig gut gefällt! :)

Zitat hairbeRt:

Kennst du eine Primzahl, die 10 teilt, ihr Quadrat dies aber nicht tut, und die kein Teiler von 1 ist?

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