Beweisen Sie, dass das folgende Polynom X^11 ... irreduzibel ist.

Question

Beweisen Sie, dass das Polynom \( X^{11}+10 \in \mathbb{Q}[X] \) irreduzibel ist.

Comments

Du musst zeigen, dass f(x) = x^11 + 10 keine Nullstelle in ℚ hat. (Nullstellenkriterium).

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Der Trick ist das Irreduzibilitätskriterium von Eisenstein. Schau gern erst mal selbst nach. Zur Auflösung schreib ich dir die Antwort aber auch noch mal ausführlich auf.

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Das ist falsch. Das Polynom \(f(x)=1+2x^2+x^4 =(1+x^2)^2\) ist reduzibel, besitzt aber keine Nullstelle in \(\mathbb{Q}\). Dass das besitzen von Nullstellen äquivalent zu Reduziblität ist, gilt nur in algebraisch abgeschlossenen Körpern.

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Das wäre eine gute Idee gewesen für Polynome vom Grad 2 oder 3. Dann hätte man auch mit dem Satz über rationale Nullstellen argumentieren können. Hier geht das allerdings leider nicht, wie schon hairbeRt geschrieben hat mit schönem Gegenbeispiel.

Answer 1

Eisensteinkriterium: Ist \(f(x)=a_nx^n+\ldots+a_1x+a_0\) ein Polynom von Grad \(n>1\), und existiert eine Primzahl \(p\), sodass \(p\nmid a_n\), \(p^2\nmid a_0\) und \(p|a_0,a_1,\ldots,a_{n-1}\), dann ist \(f\) irreduzibel über \(\mathbb{Q}\).

Kennst du eine Primzahl, die \(10\) teilt, ihr Quadrat dies aber nicht tut, und die kein Teiler von \(1\) ist?

Answer 2

Hey hp,

Dass das Polynom \(X^{11}+10\in\mathbb{Q}[X]\) irreduzibel ist, folgt direkt aus dem "Irreduzibilitätskriterium von Eisenstein".

Ein Polynom aus \(\mathbb{Q}\) (mit teilerfremden Koeffizienten) ist nämlich dann irreduzibel, wenn du ein Primelement aus \(\mathbb{Q}\) finden kannst, sodass:

(1) Diese Primzahl teilt jeden Koeffizienten, bis auf den Leitkoeffizienten \(a_n\)
(2) Das Quadrat dieser Primzahl teil nicht das Absolutglied \(a_0\)



Für dein Polynom funktioniert zum Beispiel die Primzahl \(p=5\in\mathbb{Q}\). Denn (1) sie teilt alle Koeffizienten \(a_0,a_1,\dots,a_{10}\) bis auf den Leitkoeffizienten \(a_{11}=1\) und (2) ihr Quadrat \(p^2=5^2=25\) teilt nicht das Absolutglied \(a_0=10\).

Da so eine Primzahl existiert, ist das Polynom irreduzibel.



Viel Spaß!
MathePeter

Comments

Verdammt, du warst schneller :p

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Zitat hairbeRt:

Kennst du eine Primzahl, die 10 teilt, ihr Quadrat dies aber nicht tut, und die kein Teiler von 1 ist?