Aloha :)
Aus der Menge \(D\) betrachten wir zuerst die zweite Bedingung$$x^2+y^2\le1$$Wir können darin \(x\in[-1|1]\) frei wählen, sind dann aber, wegen \(y^2\le1-x^2\), bei der Wahl von \(y\) eingeschränkt. Die Bedingung begrenzt unsere Wahl also wie folgt:$$-1\le x\le 1\quad;\quad -\sqrt{1-x^2}\le y\le \sqrt{1-x^2}$$Nun betrachten wir die erste Bedinung aus der Menge \(D\):$$x^2+4y^2\ge1$$Wir stellen fest, dass der Wertebereich für \(x\) nicht weiter eingeschränkt wird, denn für \(x\in[-1|1]\) ist \(4y^2\ge1-x^2\ge0\), sodass die implizite Bedingung \(y^2\ge0\) nicht verletzt wird. Allerdings müssen wir die Forderung \(y^2\ge\frac{1-x^2}{4}\) erfüllen, sodass wir weitere Einschänkungen bei der Wahl von \(y\) hinnehmen müssen:$$-1\le x\le 1\quad;\quad y\ge\frac{\sqrt{1-x^2}}{2}\;\;\lor\;\;y\le-\frac{\sqrt{1-x^2}}{2}$$
~plot~ sqrt(1-x^2)/2 ; sqrt(1-x^2) ; -sqrt(1-x^2)/2 ; -sqrt(1-x^2) ; [[-1,5|1,55|-1,1|1,1]] ~plot~
Die Punktmenge \(D\) liegt zwischen dem Außenkreis und der inneren Ellipse. Sie ist symmetrisch um den Koordinatenursprung verteilt. Im ersten Quadranten können wir ihre Punkte wie folgt parametrisieren:$$0\le x\le 1\quad;\quad \frac{\sqrt{1-x^2}}{2}\le y\le\sqrt{1-x^2}\quad\text{(im ersten Quadranten)}$$
Wegen \(|\pm x|+|\pm y|=|x|+|y|\) ist auch der Integrand punktsymmetrisch zum Ursprung, sodass wir uns beim Integrieren auf den ersten Quadranten beschränken können:
$$I=\int_D\left(\,|x|+|y|\,\right)\,d(x,y)=4\cdot\int\limits_0^1dx\int\limits_{\sqrt{1-x^2}/2}^{\sqrt{1-x^2}}dy\left(x+y\right)$$$$\phantom{I}=4\cdot\int\limits_0^1dx\left[xy+\frac{y^2}{2}\right]_{y=\sqrt{1-x^2}/2}^{\sqrt{1-x^2}}$$$$\phantom{I}=4\cdot\int\limits_0^1dx\left[x\left(\sqrt{1-x^2}-\frac{\sqrt{1-x^2}}{2}\right)+\frac{(1-x^2)-\frac{1-x^2}{4}}{2}\right]$$$$\phantom{I}=4\cdot\int\limits_0^1dx\left[\frac{x}{2}\sqrt{1-x^2}+\frac{3}{8}(1-x^2)\right]=\int\limits_0^1 2x\sqrt{1-x^2}\,dx+\frac{3}{2}\int\limits_0^1(1-x^2)dx$$$$\phantom{I}=\left[-\frac{2}{3}(1-x^2)^{3/2}\right]_0^1 +\frac{3}{2}\left[x-\frac{x^3}{3}\right]_0^1=0-\left(-\frac{2}{3}\right)+\frac{3}{2}\left(\frac{2}{3}-0\right)=\frac{5}{3}$$
