Ist das Skalarprodukt ausgeartet?

Question

Ein Skalarprodukt s auf \( \mathbb R^{3} \) sei gegeben durch die Matrix

A:=

1	2	1
2	6	3
1	3	2

Ist s ausgeartet?

Problem/Ansatz:

Dafür muss ich doch eigentlich nur den Rang von A bestimmen, oder? Hat A vollen Rang ist s nicht-ausgeartet, hat A nicht vollen Rang ist s ausgeartet.

Was meint ihr?

Comments

Ich glaub, ich habs! Man muss \(< (a,b,c)^T , v_{i} > = 0\) prüfen mit \( 1 \leq i \leq 3 \), wobei \(v_{i} \) die Standardbasisvektoren sind. Dies führt auf ein LGS mit

a+2b+c = 0

2a+6b+c=0

a+3b+2c=0.

Es folgt, dass a=b=c=0, also ist s nicht-ausgeartet.

Qu'est-ce que vous en pensez?

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Eine Bilinearform ist genau dann nichtausgeartet, wenn die Gramsche Matrix der Bilinearform vollen Rang besitzt, also det A =/= 0.