Ich habe bei folgender Aufgabe ein Problem:
Sei V ein \( \mathbb{C}\) Verktorraum der stetigen Funktionen von [0,1] nach \( \mathbb{C}\) (mit punktweiser Addition und Skalarmultiplikation.
1) Zeigen dass durch <f,g> := \( \int_{0}^{1}f(x)\overline{g(x)}dx \) ein hermitesches Skalarprodukt auf V definiert ist.
2) Sei \( f_{1} \in V\) konstant 1 also für alle x aus [0,1]. Finde \( f_{2} \in V\) mit \(|| f_{2}||=1\) und \(< f_{1}, f_{2}>=0\)
3)gibt es unendlich viele Funktionen \( f_{1}, f_{2}, f_{3},.. \in V\), so dass \(|| f_{i} ||=1\) für alle \(i \in \mathbb{N}\) und \(< f_{i}, f_{j}>=0\) für alle \(i,j \in \mathbb{N}\), \( i\neq j\)
Ich habe keine Ahnung wie ich da rangehen soll. <u,v> (vektoren) ist ja \( u_{1}*v_{1}+...+u_{n}*v_{n} \), und wie komme ich bitte bei Funktionen von der Vektordefinition zum Integral?! Gut hier sind wir im Körper der komplexen Zahlen und da war ja <u,v>= \( u^{T}\overline{v} \) und wie hilft mir das weiter? Ich könnte als Funktion z.B. \( e^{i* \phi} \quad \phi= \omega*x \) nehmen und würde dann sowohl fürs Skalarprodukt im komplexen als auch fürs Integral gleichen Wert kriegen aber das ist doch kein Beweis. Bei 2) und 3) habe ich noch weniger Ideen..