Hermitesches Skalarprodukt von Funktionen

Question

Ich habe bei folgender Aufgabe ein Problem:

Sei V ein \( \mathbb{C}\) Verktorraum der stetigen Funktionen von [0,1] nach \( \mathbb{C}\) (mit punktweiser Addition und Skalarmultiplikation.

1) Zeigen dass durch <f,g> := \( \int_{0}^{1}f(x)\overline{g(x)}dx \) ein hermitesches Skalarprodukt auf V definiert ist.

2) Sei \( f_{1} \in V\) konstant 1 also für alle x aus [0,1]. Finde \( f_{2} \in V\) mit \(|| f_{2}||=1\) und \(< f_{1}, f_{2}>=0\)

3)gibt es unendlich viele Funktionen \( f_{1}, f_{2}, f_{3},.. \in V\), so dass \(||  f_{i} ||=1\) für alle \(i \in \mathbb{N}\) und \(< f_{i}, f_{j}>=0\) für alle \(i,j \in \mathbb{N}\), \( i\neq j\)

Ich habe keine Ahnung wie ich da rangehen soll. <u,v> (vektoren) ist ja \( u_{1}*v_{1}+...+u_{n}*v_{n} \), und wie komme ich bitte bei Funktionen von der Vektordefinition zum Integral?! Gut hier sind wir im Körper der komplexen Zahlen und da war ja <u,v>= \( u^{T}\overline{v} \) und wie hilft mir das weiter? Ich könnte als Funktion z.B. \( e^{i* \phi} \quad \phi= \omega*x \) nehmen und würde dann sowohl fürs Skalarprodukt im komplexen als auch fürs Integral gleichen Wert kriegen aber das ist doch kein Beweis. Bei 2) und 3) habe ich noch weniger Ideen..

Answer 1

1)

Eigenschaften eines hermiteschen Skalarprodukt s:

i)Linearität

<f+h,g>=<f,g>+<h,g>

<a*f,g>=a*<f,g>

<f,a*g>=a_konjugiert *<f,g>

Diese Eigenschaften folgen direkt aus der Linearität des Integrals und sind somit erfüllt.

ii) Hermitizität:

<f,g>=<g,f>_konjugiert

Das ist auch erfüllt, da man die Konjugation in das Integral rein ziehen darf und die doppelte Konjugation sich aufhebt.

iii)Definitheit

<f,f> >=0

Das stimmt, da f*f_konjugiert=|f|^2>=0 f gilt.

Wenn man da drüber Integriert kann also auch nur ein positiver Wert entstehen.

<f,f>=0 <-> f=0

Selbe Begründung:

∫|f|^2 dx =0 <-> |f|^2=0 <->f=0

Somit sind alle Eigenschaften erfüllt.

2)<f1,f2>=∫(0 bis 1) f2(x)_konjugiert dx

Bedingung : ∫ (0 bis 1) |f2(x)|^2 dx=1

OK, ich habe ein wenig rumprobiert und bin auf f2(x)=sqrt(2)*sin(2*pi*x) gekommen.