Eigenwerte, Vektorräume, Beweise!

Question

Aufgabe:

Es sei \( K \) ein Körper, \( V \) und \( W \) seien \( K \) -Vektorräume, und es seien \( \varphi \in \operatorname{End}(V) \) und \( \psi \in \operatorname{End}(W) . \) Weiter sei \( r \in K \) ein Eigenwert von \( \varphi \) und \( s \in K \) ein Eigenwert von \( \psi . \)
Wie zeige ich:
(1) \( \varphi \otimes \psi \in \operatorname{End}(V \otimes W) \) hat den Eigenwert \( r s \)
(2) \( \varphi \otimes \mathrm{id}_{W}+\mathrm{id}_{V} \otimes \psi \in \operatorname{End}(V \otimes W) \) hat den Eigenwert \( r+s \)

Problem/Ansatz:

Ich versuche seit eine Woche diese Aufgabe zu lösen, aber ich komme nicht voran.

Ich würde sehr dankbar sein, wenn ihr mir bei der Lösung hilft!

Comments

Wie ist denn ⊗ definiert ?

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Was meinst du mit (wie es definiert)?

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Ich vermute, dass ⊗ als Tensorprodukt definiert würde! oder gibt es andere Definition @master994 und @mathef?!

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Wie ist denn ⊗ definiert ?

Als das Tensorprodukt.

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Ja, ⊗ ist als das Tensorprodukt !

Answer 1

Hallo,

Sei \( v \in \operatorname{Eig}(\varphi, r) \) und \(  w \in \operatorname{Eig}(\psi, s) \).

(1) \( (\varphi \otimes \psi) ( v \otimes w) = \varphi(v) \otimes \psi(w) = (rv)\otimes(sw) = (rs)(v\otimes w) \)

Also ist \( v\otimes w\) ein Eigenvektor zum Eigenwert \( rs \)

(2) $$ \begin{aligned} (\varphi \otimes \operatorname{id}_W + \operatorname{id}_V \otimes \psi)(v\otimes w) &= (\varphi \otimes \operatorname{id}_W)(v\otimes w) + \operatorname{id}_V \otimes \psi)(v\otimes w)  \\&= (\varphi(v) \otimes w) + (v\otimes\psi(w))\\&=(rv\otimes w)+(v\otimes sw)\\&=s(v\otimes w)+r(v\otimes w) \\&= (r+s)(v\otimes w) \end{aligned} $$

Somit ist \( v\otimes w\) ein Eigenvektor zum Eigenwert \( r+s\).

Comments

Dankeschön für deine Hilfe! aber ich habe kleine Frage:

Meinst du mit (Eig) die Eigenwert, oder?!

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Das ist der Eigenraum, also die Menge aller Eigenvektoren zu

diesem Eigenwert.