Aufgabe:
Es sei \( K \) ein Körper, und es seien \( U, V, W K \) -Vektorräume. Wie zeige ich:
(1) Es gibt genau eine lineare Abbildung
$$ \mathcal{Hom}_{K}(U \otimes V, W) \rightarrow \mathcal{Hom}_{K}\left(U, \mathcal{Hom}_{K}(V, W)\right): \varphi \mapsto \varphi^{\#} $$
so dass \( \varphi^{\#}(u)(v)=\varphi(u \otimes v) \) gilt für alle \( \varphi \in \mathcal{Hom} \)\( _{K}(U \otimes V, W), u \in U \) und \( v \in V \)
(2) Die lineare Abbildung aus (1) ist ein Isomorphismus.
Problem/Ansatz:
Ich weiß, dass der Isomorphismus \( \mathcal{Hom} \) \( _{K}(U \otimes V, W) \cong \mathcal{Hom} \)\( _{K}\left(U, \mathcal{Hom}_{K}(V, W)\right) \) auch heißt, Potenzgesetz für lineare Abbildungen", Aber ich kriege den Beweis für die beide Aufgaben nicht !
