Sind V1 und V2 Vektorräume über K?

Question

Aufgabe:

Es seien \( V_{1} \) und \( V_{2} \) Vektorräume über einem Körper \( K \). Weisen Sie nach, dass \( V_{1} \times V_{2} \) mit den Operationen
\(\left(v_{1}, v_{2}\right)+\left(v_{1}^{\prime}, v_{2}^{\prime}\right)=\left(v_{1}+v_{1}^{\prime}, v_{2}+v_{2}^{\prime}\right), \lambda \cdot\left(v_{1}, v_{2}\right)=\left(\lambda \cdot v_{1}, \lambda \cdot v_{2}\right)\)
für \( v_{1}, v_{1}^{\prime} \in V_{1}, v_{2}, v_{2}^{\prime} \in V_{2}, \lambda \in K \) einen \( K \)-Vektorraum bildet. Wir bezeichnen diesen Vektorraum mit \( V_{1} \oplus V_{2} \).

Problem/Ansatz:

Text erkannt:

1. Es seien \( V_{1} \) und \( V_{2} \) Vektorräume über einem Körper \( K \). Weisen Sie nach, dass \( V_{1} \times V_{2} \) mit den
Operationen
\( \qquad \)
für \( v_{1}, v_{1}^{\prime} \in V_{1}, v_{2}, v_{2} \in 1 \)
raum mit \( V_{1} \oplus V_{2} \).
Aufatel. 1
(i) Z: Es saien \( V_{1} \) und \( V_{2} \) Vehtanöume über inem Käper K. Viundk sind hommulatioe Gruppen
- Commbtiuiliat:
\( \left(v_{1}, v_{2}\right)+\left(v_{1}^{\prime}+v_{2}^{\prime}\right)=\left(v_{1}+v_{1}^{\prime}, v_{2}+v_{2}^{\prime}\right)=\left(v_{1}^{\prime}+v_{1}, v_{2}^{\prime}+v_{2}\right)=\left(v_{1}^{\prime}, v_{2}^{\prime}\right)+\left(v_{1}, v_{2}\right) \)
- Arioinhingeset :
\( \begin{aligned} \left(v_{1}, v_{2}\right)+\left(v_{1}^{\prime}, v_{2}^{\prime}\right)+\left(v_{3}^{\prime}+v_{4}^{\prime}\right) & =\left(v_{1}, v_{2}\right)+\left(\left(v_{1}^{\prime}, v_{2}^{\prime}\right)+\left(v_{3}^{\prime}, v_{4}^{\prime}\right)\right) \\ & =\left(\left(v_{1}, v_{2}\right)+\left(v_{1}^{\prime}, v_{2}^{\prime}\right)\right)+\left(v_{3}^{\prime}, v_{4}^{\prime}\right) \end{aligned} \)
- das neubale Element hifft Nulloohk
taille \( e_{1}=0 \) und \( e_{2}=0 \), damn forgs:
\( \left(v_{1}, v_{2}\right)+(0,0)=\left(v_{1}, v_{2}\right) \quad v \)
- moerses Element

Wibhle \( -v_{1}=1 \cdot v \) and \( -v_{2}=1 \cdot v_{2} \). Dam folegh,
\( \left(v_{1}, v_{2}\right)+\left(-v_{1},-v_{2}\right)=\left(v_{1}-v_{1}, v_{2}-v_{2}\right)=(0,0)=\left(e_{1}, e_{2}\right) \)
\( \begin{array}{l} \text { (i:) } z: 1 \cdot v=v \quad \forall v \in V \\ \lambda \cdot\left(v_{1}, v_{2}\right) \stackrel{\lambda=1}{=} 1 \cdot\left(v_{1}, v_{2}\right)=\left(1 \cdot v_{1}, y \cdot v_{2}\right)=\left(v_{1}, v_{2}\right) \\ \text { (iii) } 3: c \cdot(d \cdot v)=(c \cdot d) \cdot v \\ \lambda \cdot\left(\left(v_{1}, v_{2}\right) \cdot\left(v_{1}^{\prime}, v_{2}^{\prime}\right)\right)=\left(\lambda \cdot\left(v_{1}, v_{2}\right)\right) \cdot\left(v_{1}^{\prime}, v_{2}^{\prime}\right) \\ \text { (iv) } z:(c+d) \cdot v=(c \cdot v)+(d \cdot v) \\ \lambda \cdot\left(\left(v_{1}, v_{2}\right)+\left(v_{1}^{\prime}, v_{2}^{\prime}\right)\right)=\lambda \cdot\left(v_{1}, v_{2}\right)+\lambda\left(v_{1}^{\prime}, v_{2}^{\prime}\right) \\ =\left(\lambda v_{1}, \lambda v_{2}\right)+\left(\lambda v_{1}^{\prime}, \lambda v_{2}^{\prime}\right) \\ \end{array} \)

Hallo im Anhang befindet sich schon meine Lösung. Für die Aufgabe bin ich einfach die Definition für ein Vektorraum durchgegangen, nur habe ich mich nicht wirklich auf V1+V2 fokussiert, ist mein Ansatz richtig oder fehlt etwas? Vielen Dank im Voraus.

Answer 1

Ist im Prinzip reine Schreibarbeit. Einiges ging aber schief.

Am Anfang fehlt die Angabe (für später wichtig): "\(V:=V_1\oplus V_2\)".

Es geht also um Paare. Gibt neutrales Element also konkret zu einem \(v\in V\) an, also als Paar.

Bei iii) und iv) geht was durcheinander, weil die wichtigen Zusatzinformationen fehlen, nämlich \(c,d\in K, v\in V\). Dein Nachweis passt nicht zu dem, was zu zeigen ist (kommt u.a. gar kein \(c,d\) drin vor).

Comments

Text erkannt:

- das neubale Element hipt Nullorther Utille \( \left(v_{1}^{\prime}, v_{2}^{\prime}\right)=(0,0) \quad v \in V \), damn folgt:
\( \left(v_{1}, v_{2}\right)+\left(v_{1}^{\prime}, v_{2}^{\prime}\right)=\left(v_{1}, v_{2}\right)+(0,0)=\left(v_{1}, v_{2}\right) \)
- muerses Element

Meintest du als Paar? Bei iii) iv) habe ich die c,d,v aus der Definition abgeschrieben die wir im Skript hatten, dann verwende ich lieber andere Überschriften.

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Klarer wäre es mit:

Das neutrale Element ist (0,0), denn sei \(v=(v_1,v_2)\in V\). Dann gilt...

Und

Das zu \(v=(v_1,v_2)\) inverse Element ist \((-v_1,-v_2)\), denn...

Bei iii) iv) habe ich die c,d,v aus der Definition abgeschrieben die wir im Skript hatten

Ich hoffe nicht, dass das so in der Def. im Skript steht. Da fehlt eben was, s.o.

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Text erkannt:

1. Es seien \( V_{1} \) und \( V_{2} \) Vektorräume über einem Körper \( K \). Weisen Sie nach, dass \( V_{1} \times V_{2} \) mit deh
Operationen
\( \qquad \)
für \( v_{1}, v_{1}^{\prime} \in V_{1}, v_{2}, v_{2} \in \)
raum mit \( V_{1} \oplus V_{2} \).
Aufatel. 1
(i) Z: Es saien \( V_{1} \) and \( V_{2} \) Vehtanäume über inem Käper K.
\( V:=V_{1} \oplus V_{2} \)

Viund sind hommulative Gruppen
- Commbtiuiliat:
\( \left(v_{1}, v_{2}\right)+\left(v_{1}^{\prime}+v_{2}^{\prime}\right)=\left(v_{1}+v_{1}^{\prime}, v_{2}+v_{2}^{\prime}\right)=\left(v_{1}^{\prime}+v_{1}, v_{2}^{\prime}+v_{2}\right)=\left(v_{1}^{\prime}, v_{2}^{\prime}\right)+\left(v_{1}, v_{2}\right) \)
- Ariorichingeseh:
\( \begin{aligned} \left(v_{1}, v_{2}\right)+\left(v_{1}^{\prime}, v_{2}^{\prime}\right)+\left(v_{3}^{\prime}+v_{4}^{\prime}\right) & =\left(v_{1}, v_{2}\right)+\left(\left(v_{1}^{\prime}, v_{2}^{\prime}\right)+\left(v_{3}^{\prime}, v_{k}^{\prime}\right)\right) \\ & =\left(\left(v_{1}, v_{2}\right)+\left(v_{1}^{\prime}, v_{2}^{\prime}\right)++\left(v_{3}^{\prime}, v_{n}^{\prime}\right)\right. \end{aligned} \)
- das neubale Element hijft Nulloother und ist \( (0,0) \), dem si \( v=\left(k_{1}, V_{2}\right) \in V \). Dam gilf:
\( \left(v_{1}, v_{2}\right)+(0,0)=\left(v_{1}, v_{2}\right) \quad v \)
- moesses Element

Dar \( z v=\left(v_{1}, v_{2}\right) \) inverse Element if
\( \left(v_{1}, v_{2}\right)+\left(-v_{1},-v_{2}\right)=\left(v_{1}-v_{1}, v_{2}-v_{2}\right)=(0,0)=\left(e_{1}, e_{2}\right) \)
(i:)
\( z: 1 \cdot v=v \quad \forall v \in V \)
\( \lambda \cdot\left(v_{1}, v_{2}\right) \stackrel{\lambda=1}{=} 1 \cdot\left(v_{1}, v_{2}\right)=\left(1 \cdot v_{1}, 4 \cdot v_{2}\right)=\left(v_{1}, v_{2}\right) \)
(iii) \( \lambda \cdot\left(\left(v_{1}, v_{2}\right) \cdot\left(v_{1}^{\prime}, v_{2}^{\prime}\right)\right)=\left(\lambda \cdot\left(v_{1}, v_{2}\right)\right) \cdot\left(v_{1}^{\prime}, v_{2}^{\prime}\right) \)
(iv) 2
\( \begin{aligned} \lambda \cdot\left(\left(v_{1}, v_{2}\right)+\left(v_{1}^{\prime}, v_{2}^{\prime}\right)\right) & =\lambda \cdot\left(v_{1}, v_{2}\right)+\lambda\left(v_{1}^{\prime}, v_{2}^{\prime}\right) v \\ & =\left(\lambda v_{1}, \lambda v_{2}\right)+\left(\lambda v_{1}^{\prime}, \lambda v_{2}^{\prime}\right) \end{aligned} \)

Hey nudger, danke für deine Hilfe! Glaubst du das ist besser jetzt?

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Neutrales/inverses Element: Ja, das ist so gut.

Zu (iii), (iv): Nein. Schreib die nachzuweisende Eigenschaft sorgfältig und vollständig (wie Du es vorher auch versucht hast). Danach weise nach.

Durch das Weglassen der Beh. wird nichts besser.

Nochmal: Achte genau auf den Unterschied zwischen c,d und v. U.a. gibt es bei Vektorräumen auch gar keine Multiplikation zwischen Vektoren.

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Hi, bei der dritten Eigenschaft (iii) wird aber Multiplikation im Körper vorausgesetzt oder nicht? Und die vierte eigenschaft wäre distributivgesetz und das geht ja mit lamda aus k oder?

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Die (iii) sieht nach Multiplikation im Körper aus, und (iv) sieht aus wie ein Distributivgesetz. Ich sage "sieht aus", weil Du bisher noch nicht Dein vollständiges (iii), (iv) hier aufgeschrieben hast, so dass ich keine eindeutige Antwort geben kann. Es gibt keine global verbindliche Übereinkunft, was (iii), (iv) bedeutet. Es zählt, was in Deinen Vorlesungsunterlagen steht. Und das kenne ich bisher nicht.