Hallo Mohammad,
Kann man die Funktion f : R\{0} → R : x → sin(x)/x stetig in 0 fortsetzen?
Ja - das ist möglich. Schau Dir dazu die Talorentwicklung von \(\sin(x)\) an: $$\sin(x) = x - \frac {x^3}{6} + \frac {x^5}{120} - \dots$$jeder Summand enthält einen Term mit \(x\). Folglich ist es kein Problem, diesen Ausdruck durch \(x\) zu dividieren:$$\frac {\sin(x)}x = 1 - \frac {x^2}{6} + \frac {x^4}{120} - \dots$$Zur Anschauung nochmal der Plot:
~plot~ 1-x^2/6+x^4/120;sin(x)/x;[[-4|4|-2|3]] ~plot~
Der blaue Graph zeigt die Taylorentwicklung bis zum 3.Glied und der rote Graph ist der Graph von \(\sin(x)/x\). Augenscheinlich gibt es bei \(x=0\) keine Probleme.
Kann die stetige Forsetzung dann auch differenzierbar auf R sein?
rein formal ist die Ableitung$$\frac {\partial}{\partial x} \frac{\sin(x)}{x} = \frac{x\cos(x) - \sin(x)}{x^2}$$ für \(x=0\) würde man einen undefinierten Ausdruck wie $$\frac {\partial}{\partial x} \frac{\sin(0)}{0} = \frac 00 - \frac 00 = \, ?$$ vorfinden. Aber auch hier hilft der Blick auf die Taylorentwicklung, die nach dem Ableiten eine 'harmlose' Funktion bleibt, die auch in \(x=0\) stetig ist.
... oder Du berechnest den Wert für \(f'(0)\) nach der Regel von l'Hospital:$$\begin{aligned}f'(x=0)&= \lim_{x \to 0}\frac{x\cos(x) - \sin(x)}{x^2} \\ &= \lim_{x \to 0}\frac{ \cos(x) - x\sin(x) - \cos(x)}{2x} \\ &= \lim_{x \to 0}\frac{ - \sin(x) }{2} \\ &= 0 \end{aligned}$$
