Aufgabe:
Ich soll untersuchen, ob ein Grenzwert existiert. Für:
\( \lim\limits_{z\to1} \) (\( \frac{z^4-1}{z-1} \)+\( \frac{z^3-1}{z^2-1} \) )
Problem/Ansatz:
Ich habe das ganze Umgeformt, bin mir aber bei meinem Ergebnis nicht ganz sicher.
\( \frac{(z^2-1)(z^2+1)}{z-1} \) + \( \frac{z^3-1}{z^2-1} \) = \( \frac{(z-1)(z+1)(z^2+1)}{z-1} \) + \( \frac{z^3-1}{z^2-1} \)
= (z+1)(z^2+1) + \( \frac{z^3-1}{z^2-1} \) = \( \frac{(z^2-1)(z^3+z+z^2+1)}{z^2-1} \) + \( \frac{z^3-1}{z^2-1} \) =
\( \frac{(z^2-1)(z^3+z+z^2+1)+z^3-1}{z^2-1} \) = \( \frac{z^5+z^3-z-2+z^3}{z^2-1} \) =
\( \frac{z^3+z^2+z-\frac{1}{z}-\frac{2}{z^2}}{1-\frac{1}{z^2}} \)
Wenn ich jetzt z gegen 0 laufen lasse, bekomme ich \( \frac{0}{0} \) raus?
Also gibt es keinen Grenzwert?