Grenzwerte untersuchen. Existiert dieser überhaupt?

Question

Aufgabe:

Ich soll untersuchen, ob ein Grenzwert existiert. Für:

\( \lim\limits_{z\to1} \) (\( \frac{z^4-1}{z-1} \)+\( \frac{z^3-1}{z^2-1} \) ) 

Problem/Ansatz:

Ich habe das ganze Umgeformt, bin mir aber bei meinem Ergebnis nicht ganz sicher.

\( \frac{(z^2-1)(z^2+1)}{z-1} \)  + \( \frac{z^3-1}{z^2-1} \)   = \( \frac{(z-1)(z+1)(z^2+1)}{z-1} \)  + \( \frac{z^3-1}{z^2-1} \) 

= (z+1)(z^2+1)  + \( \frac{z^3-1}{z^2-1} \)  = \( \frac{(z^2-1)(z^3+z+z^2+1)}{z^2-1} \)  + \( \frac{z^3-1}{z^2-1} \)  =

\( \frac{(z^2-1)(z^3+z+z^2+1)+z^3-1}{z^2-1} \) = \( \frac{z^5+z^3-z-2+z^3}{z^2-1} \)  =

\( \frac{z^3+z^2+z-\frac{1}{z}-\frac{2}{z^2}}{1-\frac{1}{z^2}} \)

Wenn ich jetzt z gegen 0 laufen lasse, bekomme ich \( \frac{0}{0} \) raus?

Also gibt es keinen Grenzwert?

Comments

Tipp:  \(\dfrac{z^3-1}{z^2-1}=z+\dfrac1{z+1}\) für \(\vert z\vert\ne1\).

Answer 1

Fuhre für beide Summanden eine Polynomdivision durch z-1 durch. Dann kann der Grenzwert problemlos bestimmt werden.

Answer 2

Aloha :)

Forme den Ausdruck zunächst etwas um:$$\frac{z^4-1}{z-1}+\frac{z^3-1}{z^2-1}=\frac{(z^4-1)(z+1)}{(z-1)(z+1)}+\frac{z^3-1}{z^2-1}=\frac{z^5-z+z^4-1}{z^2-1}+\frac{z^3-1}{z^2-1}$$$$=\frac{z^5+z^4+z^3-z-2}{z^2-1}$$Für \(z=1\) ergeben sowohl der Zähler als auch der Nenner Null. Daher können wir die Regel von L'Hospital anwenden:$$\lim\limits_{z\to1}\frac{z^5+z^4+z^3-z-2}{z^2-1}=\lim\limits_{z\to1}\frac{5z^4+4z^3+3z^2-1}{2z}=\frac{5+4+3-1}{2}=\frac{11}{2}$$

Comments

L'Hospital braucht's hier nicht.

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Funktioniert aber doch gut ;)

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Für z=1 ergeben sowohl der Zähler als auch der Nenner Null. Daher können wir die Regel von L'Hospital anwenden:

Im Sinne mathematischer Schönheit ein unverzeihlicher Fehlschluss.

Für z=1 ergeben sowohl der Zähler als auch der Nenner Null. Daher ...

sollte man versuchen, jeweils den Linearfaktor (z-1) auszuklammern.

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Substituiere z^2=x im zweiten Summanden, dann ist der erste Grenzwert die Ableitung von z^4 an der Stelle 1 und der zweite ist die Ableitung von x^1,5 an der Stelle 1, also insgesamt  4·1^3 + 1,5·1^0,5  =  5,5