Weglänge vom Sinus im Intervall [0, π]

Question

Aufgabe:

Ich möchte die Weglänge vom Sinus berechnen im Intervall [0,π].

Problem/Ansatz:

Habs mit :

$$L=\int \limits _{a}^{b}{\sqrt {{\dot {x}}(t)^{2}+{\dot {y}}(t)^{2}}}\,\mathrm {d} t$$

probiert, komme aber auf kein sinnvolles Ergebnis.

Answer 1

x(t) = t ==> x ' (t) = 1

y(t) = sin(t) ==>   y ' (t) = cos(t)

Also √ ( 1 + cos^2(t) ) von 0 bis pi integrieren

Kann man aber exakt nicht lösen, gibt

näherungsweise 3,82.

Comments

\(\displaystyle L= \frac{\pi^{2}+2 \Gamma\left(\frac{3}{4}\right)^{4}}{\sqrt{2 \pi} \Gamma\left(\frac{3}{4}\right)^{2}} \)

Answer 2

Aloha :)

$$L=\int\limits_0^\pi ds=\int\limits_0^\pi \sqrt{dx^2+dy^2}=\int\limits_0^\pi \sqrt{dx^2\left(1+\frac{dy^2}{dx^2}\right)}=\int\limits_0^\pi \sqrt{\left(1+\left(\,f'(x)\,\right)^2\right)}dx$$Wegen \((\sin x)'=\cos x\) heißt das hier:$$L=\int\limits_0^\pi\sqrt{1+\cos^2x}\,dx=\cdots\approx3,8202$$Das Integral ist etwas fummelig zu bestimmen, daher möchte ich dir die Freude daran nicht nehmen ;) Nee, im Ernst, fallst du nicht weiter kommst, melde dich bitte einach nochmal.