Bilinearform schiefsymmetrisch <=> Grammatrix schiefsymmetrisch

Question

sei V ein endlichdimensionaler Vektorraum, β eine Bilinearform und B eine Basis von V.

Ich soll zeigen, dass β genau dann schiefsymmetrisch ist, wenn auch die Grammatrix bezüglich B schiefsymmetrisch ist.

Ansatz:

Ich habe es einfach über die Definition der Grammatrix hergeleitet:

_gij = β(v_i,v_j)   daraus folgt  g_ji = -g_ij, denn β(v_i,v_j) = -β(v_j,v_i)

Damit kann man das doch über einen 1-Zeiler zeigen, oder fehlt da noch was?

Answer 1

Ja, deine Idee passt. Jetzt musst du es halt nur noch etwas ausschmücken, indem du dir eine Basis von V hindefinierst. Und ansonsten steht dann dein Beweis mit deiner Idee schon da.