Es sei \( G \in \mathbb{R}^{n \times n} \) eine Matrix und die Bilinearform \( f(u, v)=\sum \limits_{i-1}^{n} \sum \limits_{j-1}^{n} G_{i j} l_{i}(u) l_{j}(v) \) gegeben, wobei \( B=\left(b_{1}, \ldots, b_{n}\right) \) eine Basis des \( \mathbb{R}^{n} \) mit zugehöriger dualer Basis \( L=\left(l_{1}, \ldots, l_{n}\right) \) sei.
Welche Antworten sind richtig?
Antworten:
1. Wenn \( G \) symmetrisch ist, d.h. \( G^{T}=G \) gilt ist auch \( f \) symmetrisch.
2. Wenn \( f \) symmetrisch ist ist auch \( G \) symmetrisch.
3. Gilt det \( G>0 \) ist \( G \) positiv definit
4. Wenn \( G \) diagonalisierbar ist mit den Eigenwerten \( \lambda_{1}, \ldots, \lambda_{n} \) und gilt für alle Eigenwerte \( \lambda_{i}>0 \) ist \( f \) positiv definit.
5. Gilt \( G=I_{n} \) so handelt es sich bei \( f \) um ein Skalarprodukt und bei \( B \) um eine Orthonormalbasis.
