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Es sei \( G \in \mathbb{R}^{n \times n} \) eine Matrix und die Bilinearform \( f(u, v)=\sum \limits_{i-1}^{n} \sum \limits_{j-1}^{n} G_{i j} l_{i}(u) l_{j}(v) \) gegeben, wobei \( B=\left(b_{1}, \ldots, b_{n}\right) \) eine Basis des \( \mathbb{R}^{n} \) mit zugehöriger dualer Basis \( L=\left(l_{1}, \ldots, l_{n}\right) \) sei.


Welche Antworten sind richtig?


Antworten:


1. Wenn \( G \) symmetrisch ist, d.h. \( G^{T}=G \) gilt ist auch \( f \) symmetrisch.

2. Wenn \( f \) symmetrisch ist ist auch \( G \) symmetrisch.

3. Gilt det \( G>0 \) ist \( G \) positiv definit

4. Wenn \( G \) diagonalisierbar ist mit den Eigenwerten \( \lambda_{1}, \ldots, \lambda_{n} \) und gilt für alle Eigenwerte \( \lambda_{i}>0 \) ist \( f \) positiv definit.

5. Gilt \( G=I_{n} \) so handelt es sich bei \( f \) um ein Skalarprodukt und bei \( B \) um eine Orthonormalbasis.

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Wenn man weiß, wie eine Grammatrix aufgebaut ist und welche Bedingungen gelten müssen, kannst du diese Aufgabe leichter lösen

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