Ist f dann in jedem Fall differenzierbar?

Question

Aufgabe:

Problem/Ansatz:

(a) Für die Funktion f : R → R gelte |f(x)−f(y)| ≤ |x−y| für alle x,y ∈ R. Ist f dann in jedem Fall differenzierbar? Begründen Sie Ihre Antwort.
(b) Für die Funktion f : R → R gelte |f(x) − f(y)| ≤ |x − y|^2 für alle x,y ∈ R. Welche anderen stetigen Funktionen außer der Nullfunktion erfüllen diese Eigenschaft?

Answer 1

Hallo,

a) Nein, wähle f(x)=|x|

b) teile durch |x-y|, dann steht da

$$0<=|\frac{f(x)-f(y)}{x-y}|<=|x-y|$$

Links steht der Differenzenquotient der Funktion f an der Stelle x. Wenn y gegen x strebt,dann strebt dieser gegen die Ableitung

der Funktion und aufgrund der Ungleichung ist diese gleich 0. Also ist f konstant.