wie kann ich die Stetigkeit auf eine bestimmte Stelle beziehen?

Question

Hi, das ist eher eine generelle Frage, anstatt dass sie an eine spezifische Aufgabe gebunden ist. Trotzdem hab ich zu Veranschaulichung mal diese Funktion genommen und wollte fragen wie man die Menge aller Unstetigkeitsstellen bestimmen kann.

Für \( x \in \mathbb{R}^{n} \) und \( k \in \mathbb{N} \) sei \( f_{k}(x)=\frac{1+|x|^{k}}{2+|x|^{2 k}} \)

Mir bereitet hier vor allem, der Zusatz "Stelle" Probleme. Ich weiß, wie ich eine Funktion beispielsweise auf Lipschitzstetigkeit, glm. Stetigkeit etc. überprüfen kann. Aber wie kann ich das auf eine bestimmte Stelle beziehen? Bzw. kann ich irgendwie die Def. einer offenen Kugel mit einbeziehen?

Answer 1

Hallo

Stetigkeit ist an einer Stelle definiert, allerdings sind die üblichen behandelten Funktionen meist überall, bis auf wenige, oft nur eine Stelle stetig. Deine angegebene Funktion etwa ist ja auf ganz R stetig, Andererseits gibt es Funktionen, die nur in einem Punkt stetig sind wie f(x)=0 für x in Q , f(x)=x für x in R ohne Q, die nur in x=0 stetig ist. Also musst du deine Frage schon präzisieren.

Gruß lul

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auf ganz R stetig

Beachte den Definitionsbereich.