Untersuche auf Stetigkeit in Q

Question

Aufgabe:

Untersuche die Funktion f : ℚ → ℝ,

f(x) =       0 :         x < \( \sqrt{2} \)

              1 :         x > \( \sqrt{2} \)

auf Stetigkeit in ℚ.

Problem/Ansatz:

Dass ich die Aufgabe mit der Delta-Epsylon - Charakterisierung lösen muss weiß ich.

Ich habe versucht die Aufgabe mit 2 Fallunterscheidungen zu lösen.

Fall 1: x₀ > \( \sqrt{2} \)

Fall 2: x₀ < \( \sqrt{2} \)

jedoch komme ich nicht weiter.

Ich würde mich sehr freuen, wenn mir jemand weiterhelfen könnte.

Vielen Dank im voraus!

Answer 1

Sei xo∈ℚ. Dann gibt es zwei Fälle:

1.   xo < √2 . Also  √2 - xo > 0 . Und für ε= √2 - xo

hat man eine ε-Umgebung um xo,  deren Elemente

alle kleiner als √2 sind. Deren Funktionswerte sind

also alle gleich 0. Die Funktion ist somit

lokal konstant, also stetig.

2. xo > √2 . Same prodedure mit ε= xo -√2 .