Stetige Funktion angeben: f : Q-> {0,1} mit f(0) = 0 und f(1) = 1

Question

Hallo, wie finde ich eine stetige Funktion, die so aussieht....?

f : Q-> {0,1} mit f(0) = 0 und f(1) = 1

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Stetige Funktion finden von Q auf Menge {0,1}

Stichworte: stetig,stetigkeit,funktion

Hallo ich soll eine stetige Funktion f finden die von Q auf die MENGE {0,1} abgebildet wird. Dabei soll gelten f(0)=0 und f(1)=1. D.h. die Funktion nimmt nur die y- Werte 0 und 1 an oder? Ich kann mir dazu keine Funktion vorstellen. Dachte erst f(x)=x, aber da nimmt y ja auch die Werte 2,3.... an ?

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https://de.wikipedia.org/wiki/Heaviside-Funktion

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aber bei wikipedia steht dass bei x>0 und x=0 y=1 ist? außerdem : ist sie stetig wenn sie an einer Stelle nicht stetig ist?

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Ist das der volle Wortlaut der Aufgabe?

wie finde ich eine stetige Funktion, die so aussieht....?

impliziert, dass es scheinbar möglich ist.

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dass es scheinbar möglich ist

nicht nur scheinbar

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da steht : finde eine stetige funktion die die eigenschaften erfüllt. und dann anschließend noch die stetigkeit beweisen

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@Gast hj2166: stimmt der Vorschlag von TR? Etwas anderes fällt mir hier auch nicht ein.

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kann sein ich weiß nur nicht wie ich für sowas Stetigkeit zeigen soll. Hier unsere Definition aus der Vorlesung: f ist stetig in a∈D⇔∀ε>0∃δ>0∀x∈D mit |x-a|<δ und |f(x)-f(a)|<ε

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stimmt der Vorschlag von TR?

Ja.

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nur wie beweise ich an seinem Beispiel die Stetigkeit? Kann mir das jemand bitte zeigen?

Answer 1

Ist der Wertebereich wirklich {0,1} ? Das wären ja nur zwei Werte 0 und 1. Darum könnte das schwierig werden. Irgendwo müsste die Funktion dann springen. Z.B. bei 1/√(2). Daher mal dieser Vorschlag. x ∈ℚ

f(x):= 0 für x < 1/√(2)

f(x):=1 für x > 1/√(2)

Wie genau habt ihr Stetigkeit definiert, wenn der Definitionsbereich bloss ℚ ist? Passt mein Vorschlag da?

Comments

Hallo

TR hat genauer gelesen, wenn man nur auf die Punkte 0 und 1 abbildet aus ℚ1,dann kann man nicht von einer stetigen Funktion reden. Oder wie habt ihr Stetigkeit definiert?

 Folgen -Stetigkeit Jede Folge aus {0,1} die gegen 1 konvergiert  hat f(1)=1, denn die folgen enthalten ab einem N nur noch die 1.

 entsprechend bei f(0)

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mit {0,1} ist die Menge gemeint

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Lieber TR danke für deine Antwort :)

Könntest du mir noch zeigen, wie ich die Stetigkeit für diese Funktion beweise?

Hier unsere Definition aus der Vorlesung: f ist stetig in a∈D⇔∀ε>0∃δ>0∀x∈D mit |x-a|<δ und |f(x)-f(a)|<ε

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lul hat dir die Beweisidee im Kommentar von gestern bereits beschrieben.

Answer 2

Hallo

 das einfachste ist doch f(x)=x , f(x)=x^n tut es aber auch

Gruß lul

Comments

kannst du das auch noch zeigen mit f=x?

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f(x)=x->f(0)=0 ;f(1)=1

du musst doch nur 0 und 1 einsetzen?

lul

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ne meinte dass sie stetig ist.

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hallo

zum guten und richtigen Vorschlag von TR

im Bereich weit von 1/√2 ist da die Funktion konstant ist die Stetigkeit trivial. bleibt die Stetigkeit für q nahe 1/√2

q<1/√2 oder q>1/√2 f(q)=0  oder f(q)=1  wähle δ=|(1/√2-q)/2| dann ist |f(q+-δ)-f(q)|=0< jedes epsilon>0

(das gilt natürlich für alle anderen q erst recht.)

Gruß lul