Zeigen oder widerlegen Sie: Die Abbildung φ ist linear.

Question

Aufgabe

Sei K ein Körper mit 1 + 1 ≠0 und sei n ∈ N. Betrachten Sie die Abbildung
φ: K^n,n → Abb(Kn, K), A → φ(A) := φA,
mit φ_A : K^{n, 1} → K, x→ x^TAx.
(a) Zeigen oder widerlegen Sie: Die Abbildung φ ist linear.
(b) Zeigen oder widerlegen Sie: Die Abbildung φ ist linear.
(c) Zeigen Sie, dass φ_A = 0 genau dann gilt, wenn A + A^T = 0 ist.
(d) Bestimmen Sie Kern(φ) und geben Sie fur ¨ n = 3 eine Basis fur Kern(φ ) an.
(e) Bestimmen Sie Bild(φ )und geben Sie fur ¨ n = 3 eine Basis fur Bild( φ) an.
Hinweis: Mit 2 := 1 + 1 ≠ 0 gilt

A = 2^-1(A + A^T) + 2^-1(A − A^T).

Hilf mir,hab keine Ahnung.

Answer 1

a)  Um zu zeigen "φ ist linear." musst du prüfen, ob für zwei nxn-Matrizen

A und B gilt   φ (A+B) = φ(A) + φ (B) und mit einem

z∈K auch  φ (z*A) = z*φ(A).