Aufgabe:
Sei \( \mathcal{F}=\{f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\} \) und \( \hat{f} \in \mathcal{F} \). Beweisen oder widerlegen Sie, dass die folgenden Abbildungen linear sind.
(a) \( g_{1}: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto a x+b \) für \( a, b \in \mathbb{R} \backslash\{0\} \).
(b) \( g_{2}: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}, z \mapsto-\mathrm{i} z \)
(c) \( g_{3}: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}, z \mapsto \bar{z} \) bezüglich \( \mathbb{C} \) als \( \mathbb{C} \)-Vektorraum.
(d) \( g_{4}: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}, z \mapsto \operatorname{Im} z \) bezüglich \( \mathbb{C} \) als \( \mathbb{R} \)-Vektorraum.
(e) \( g_{5}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2},\left(\begin{array}{l}x \\ y\end{array}\right) \mapsto\left(\begin{array}{c}y \cos (x) \\ 1\end{array}\right) \)
(f) \( g_{6}: \mathcal{F} \rightarrow \mathcal{F}, f \mapsto \hat{f} \circ f \).
Ich komme bei der Aufgabe überhauot nicht zurecht. Bin dankbar für jede Hilfe
