Einige Behauptungen zu beweisen!

Question

Aufgabe:

Es sei \( V \) ein endlich-erzeugter \( \mathbb{R} \) -Vektorraum. Eine komplexe Struktur auf \( V \) ist ein Endomorphismus \( J: V \rightarrow V \) mit der Eigenschaft \( J^{2}=-\mathrm{id}_{V} \)

(1) Wie zeige ich, dass \( V \) mit der gegebenen Addition von Vektoren und der durch
\[(a+i b) \cdot v:=a v+b J(v)\]
definierten Skalarmultiplikation ein C-Vektorraum ist.

(2)Wie zeige ich, dass der reelle Vektorraum \( V^{\mathbb{C}}:=V \otimes \mathbb{C} \) genau eine komplexe Struktur \( J \) hat mit der Eigenschaft \( J(v \otimes z)=v \otimes \mathrm{i} z . \) Der daraus mit (1) gewonnene C-Vektorraum heißt die Komplexifizierung von \( V . \) Man kann also jeden reellen Vektorraum komplexifizieren.

(3)Wie zeige ich, dass es einen Isomorphismus gibt:
$$ \left(V^{C}\right)_{\mathbb{R}} \cong V \oplus V $$

Problem:

Ich versuche seit ein paar Tagen die Aussagen zu bestimmen aber ich komme überhaupt nicht voran, könnte mir bitte jemand helfen?!

Answer 1

(1) Du musst die VR-Axiome prüfen.  Für die Addition ist ja nichts geändert,

also sind diejenigen, die sich nur auf die Addition beziehen, erfüllt.

Für die "neue" S-Multiplikation also prüfen:

1. Abgeschlossenheit:  Sei a+bi ∈ℂ (mit a,b aus R ) und v∈V

dann ist av ∈V   weil a ∈ℝ und V ein    ℝ - VR ist.

und b*J(v) ∈V weil J ein Endomorphismus und V ein    ℝ - VR ist

und die Summe eben auch aus V weil  V ein    ℝ - VR ist.

2. Distributivgesetze:  Nach Formulierung : Seien a,b , c, d aus R und ...

ist zu zeigen   a)  ((a+bi)+(c+di) ) * v  = (a+bi)*v  +(c+di)* v.

Geht wohl so:   ((a+bi)+(c+di) ) * v   [ Def. von + in C ]

                 =     ( a+c) + (b+d) i ) *v    [ Def. S-Mult. ]

                 = (a+c)*v   +  (b+d)*J(v)   [ VR-Axiome von   ℝ - VR V]

                = a*v + b*J(v) + c*v + d*J(v)   [ Def. S-Mult. ]

                = (a+bi)*v    +  (c+di)*v.

      b) ( anderes Dist. ges. )

              (a+bi) * (v+w)  [ Def. S-Mult. ]

           =  a*(v+w)  +  b*( J(v+w) )   [ J ist Endom. ]

            =  a*(v+w)  +  b*( J(v) +J(w) )    [ VR-Axiome von  ℝ - VR V]

           = a*v + b*J(v)  +  a*w + b*J(w)    [ Def. S-Mult. ]

          = (a+bi)*v   +   (a+bi)*w    .

nächstes Axiom  ((a+bi)*(c+di))⋅v  = (a+bi)⋅((c+di)⋅v)

dabei ist * die  in C und ⋅ die S-Mult.

  ((a+bi)*(c+di))⋅v   [ Def. Mult. in C ]

= ((ac - bd) + (bc+ad)*i)⋅v   [ Def. S-Mult.  , da wo das Mult.zeichen fehlt,
                                              ist es die S-Mult im R-VR ]

= (ac - bd)v  +  (bc+ad)J(v)  [ Gesetze S-Mult im R-VR ]

= acv + bcJ(v) - bdv + adJ(v)

Jetzt mal schauen was die Berechnung der rechten Seite der
Gleichung bringt:

(a+bi)⋅((c+di)⋅v)  [ Def. S-Mult. ]

= (a+bi) ⋅ ( cv + d*J(v))   [ Def. S-Mult. ]

= a( cv + d*J(v))  + bJ ( cv + d*J(v)) [ Gesetze in VR und Endom.]

= acv + adJ(v)  + bJ(cv) + bdJ(Jv))   [ Gesetze J^2 = -id ]

= acv+adJ(v)   + bcJ(v)  - bdv

Also das gleiche Ergebnis.

Zuletzt vergiss nicht 1*v=v zu zeigen.