Berechnen Sie die Ableitung der Funktion f an einem beliebigen Punkt u 2 R2.

Question

Aufgabe:

f : ℝ²  → ℝ ,

f(x)  = 5 + x₁x₂ - x₁³

c) Berechnen Sie die Ableitung der Funktion f an einem beliebigen Punkt u ∈ \( ℝ^{2} \) .
d) Berechnen Sie den Gradienten der Funktion f an dem Punkt u = \( \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \)
.
Problem/Ansatz:

Ich komme hier nicht weiter,

zu c) kann ich einen beliebigen Punkt u=1 nehmen?

Folgender Ansatz:

\( \lim\limits_{x\to 1} \) \( \frac{f(x)-f(1)}{x-1} \)

zu d) Partielle Ableitung berechnen und dann die Punkte u = \( \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \) einsetzen?

f_{x1'(x1,x2) =} x₂-3x₁²

f_{x2'(x1,x2) =} x₁

Punkt u = \( \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \) einsetzen:

Lösung: Δf(x1,x2)=(8,1)

Vielen Dank!

Answer 1

Aloha :)

Die totale Ableitung von \(f(x,y)=5+xy-x^3\) entspricht der Jacobi-Matrix:$$Df(x,y)=\begin{pmatrix}\frac{\partial f}{\partial x} & \frac{\partial f}{\partial y}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}y-3x^2 & x\end{pmatrix}$$Der Gradient an der Stelle \((1|1)\) ist damit:$$\operatorname{grad}f(1;1)=(Df)^T(1;1)=\binom{1-3\cdot1^2}{1}=\binom{-2}{1}$$