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Aufgabe:

Es ist folgende Funktion vorgegeben:

z = ln(x \sqrt{x} y \sqrt{y} )

Zeigen Sie, dass für diese Funktion gilt:


x*dzdx \frac{dz}{dx} + y*dzdy \frac{dz}{dy} 12 \frac{1}{2}


Problem/Ansatz:

Ich habe zunächst die Ableitungen gebildet und dann jeweils mit x und y multipliziert

und wollte dann beide zusammenfassen, komme dann jedoch nicht weiter:


zx = x2x(x+y) \frac{x}{2*\sqrt{x}*(\sqrt{x}+\sqrt{y})}

zy = y2y(x+y) \frac{y}{2*\sqrt{y}*(\sqrt{x}+\sqrt{y})}


wie fahre ich jetzt fort?

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du kannst zx umformen zu x2(x+y)\dfrac{\sqrt{x}}{2( \sqrt{x} + \sqrt{y})} und zy zu y2(x+y)\dfrac{\sqrt{y}}{2 (\sqrt{x} + \sqrt{y})}.

Die Summe lautet dann x+y2(x+y)\dfrac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{2( \sqrt{x} + \sqrt{y})} und nach Division durch x+y\sqrt{x}+\sqrt{y} erhältst du 12\dfrac{1}{2}.

Avatar von 13 k

Kannst du das Umformen kurz näher erläutern? Vielen Dank erstmal.

Irgendwie stehe ich total auf dem Schlauch

Im Zähler steht x, das ist gleich x1.

Im Nenner steht 2x2\sqrt{x} und das ist gleich 2x0.52x^{0.5}.

Es gilt xx=x\dfrac{x}{\sqrt{x}}=\sqrt{x}, da x1x1/2=x11/2=x1/2=x\dfrac{x^1}{x^{1/2}}=x^{1-1/2}=x^{1/2}=\sqrt{x}.

Also gilt hier x12x1/2=x1/22=x2\dfrac{x^1}{2x^{1/2}}=\dfrac{x^{1/2}}{2}=\dfrac{\sqrt{x}}{2}.

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Achtung ist zx bei dir die Ableitung von z nach x. Dann wäre die Ableitung verkehrt. Ist das schon x * dz/dx dann ist das ok.

x / (2·√x·(√x + √y)) + y / (2·√y·(√x + √y))

Ersten Bruch mit √x und zweiten mit √y kürzen.

= √x / (2·(√x + √y)) + √y / (2·(√x + √y))

= (√x + √y) / (2·(√x + √y))

= 1 / (2·1)

= 1 / 2

Avatar von 491 k 🚀

Ich verstehe nicht wie du aus dem x und dem y aufeinmal die Wurzel machst (im Zähler)


Ich ziehe nicht die Wurzel. Ich kürze den gemeinsamen Faktor (√x + √y).

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