Ableitung : zeigen sie, dass ln (u) = 1 / 2

Question

Aufgabe:

Es ist folgende Funktion vorgegeben:

z = ln(\( \sqrt{x} \) + \( \sqrt{y} \))

Zeigen Sie, dass für diese Funktion gilt:

x*\( \frac{dz}{dx} \) + y*\( \frac{dz}{dy} \) = \( \frac{1}{2} \)

Problem/Ansatz:

Ich habe zunächst die Ableitungen gebildet und dann jeweils mit x und y multipliziert

und wollte dann beide zusammenfassen, komme dann jedoch nicht weiter:

zx = \( \frac{x}{2*\sqrt{x}*(\sqrt{x}+\sqrt{y})} \)

zy = \( \frac{y}{2*\sqrt{y}*(\sqrt{x}+\sqrt{y})} \)

wie fahre ich jetzt fort?

Answer 1

du kannst zx umformen zu \(\dfrac{\sqrt{x}}{2( \sqrt{x} + \sqrt{y})}\) und zy zu \(\dfrac{\sqrt{y}}{2 (\sqrt{x} + \sqrt{y})}\).

Die Summe lautet dann \(\dfrac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{2( \sqrt{x} + \sqrt{y})}\) und nach Division durch \(\sqrt{x}+\sqrt{y}\) erhältst du \(\dfrac{1}{2}\).

Comments

Kannst du das Umformen kurz näher erläutern? Vielen Dank erstmal.

Irgendwie stehe ich total auf dem Schlauch

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Im Zähler steht x, das ist gleich x¹.

Im Nenner steht \(2\sqrt{x}\) und das ist gleich \(2x^{0.5}\).

Es gilt \(\dfrac{x}{\sqrt{x}}=\sqrt{x}\), da \(\dfrac{x^1}{x^{1/2}}=x^{1-1/2}=x^{1/2}=\sqrt{x}\).

Also gilt hier \(\dfrac{x^1}{2x^{1/2}}=\dfrac{x^{1/2}}{2}=\dfrac{\sqrt{x}}{2}\).

Answer 2

Achtung ist zx bei dir die Ableitung von z nach x. Dann wäre die Ableitung verkehrt. Ist das schon x * dz/dx dann ist das ok.

x / (2·√x·(√x + √y)) + y / (2·√y·(√x + √y))

Ersten Bruch mit √x und zweiten mit √y kürzen.

= √x / (2·(√x + √y)) + √y / (2·(√x + √y))

= (√x + √y) / (2·(√x + √y))

= 1 / (2·1)

= 1 / 2

Comments

Ich verstehe nicht wie du aus dem x und dem y aufeinmal die Wurzel machst (im Zähler)

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Ich ziehe nicht die Wurzel. Ich kürze den gemeinsamen Faktor (√x + √y).