Partielle Ableitung 1 und 2 (mit ln-funktion)

Question

Aufgabe:

f(x;y)=(y+4)*(x^3-3x)+ln(y-2)-4y

a) Def-Bereich bestimmen.

b) Partielle Ab.1 und 2 bestimmen

fx(x;y)=

fy(x;y)=

fxx(x;y)=

fxy(x;y)=fyx(x;y)=

fyy(x;y)=

Problem/Ansatz:

Bräuchte einmal einen Ansatz wie ich sowas angehen soll

Answer 1

Text erkannt:

\( f(x, y)=(y+4) \cdot\left(x^{3}-3 x\right)+\ln (y-2)-4 y \)
\( f(x, y)=y \cdot x^{3}-y \cdot 3 x+4 x^{3}-12 x+\ln (y-2)-4 y \)
\( \frac{d f(x, y)}{d x}=3 x y^{2}-3 y+12 x^{2}-12 \)
\( \frac{d f(x, y)}{d y}=x^{3}-3 x+\frac{1}{y-2}-4 \)

Comments

okay das hat mir schon gut geholfen und wie könnte man bei der a)vorgehen?

Answer 2

Aloha :)

Du musst alle Variablen wie konstante Zahlen behandeln, außer der einen Variable, nach der du ableitest. Die Ableitungen kannst du dann sofort runterschreiben Zur Kontrolle:

$$f(x;y)=(y+4)(x^3-3x)+\ln(y-2)-4y$$$$f_x(x;y)=(y+4)(3x^2-3)$$$$f_y(x;y)=(x^3-3x)+\frac{1}{y-2}-4$$$$f_{xx}(x;y)=(y+4)6x$$$$f_{yx}(x;y)=3x^2-3=f_{xy}(x;y)$$$$f_{yy}(x;y)=-\frac{1}{(y-2)^2}$$

Comments

super ich danke dir und könntest du mir auch ein tipp zu a) geben da geht es um die def-Bereiche wäre dir sehr dankbar

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In dem Funktionsterm gibt es nur eine Einschränkung. Die \(\ln()\)-Funktion ist nur für positive Argumente definiert. Daher muss \(y-2>0\) sein bzw. \(y>2\). Der Definitionsereich ist daher:$$(x;y)\in\mathrm R\times\mathrm R^{>2}$$

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Top danke dir

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wie würde man die stationären stellen von f berechnen?

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wie würde man die stationären stellen von f berechnen?

und deren Typ lokalisieren?

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Die stationären Stellen sind diejenigen, wo die erste partielle Ableitung nach \(x\) und die erste partielle Ableitung anch \(y\) zugleich null werden. Kriegst du das hin?

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Wäre gut wenn ich was zu Kontrolle hätte