Partielle Ableitung mit ln

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

\( f(x, y)=\ln (2 x-5 y) \quad x=3, y=1 \quad \) kettenregl: \( h^{\prime}(x)=f^{\prime}(g(x)) \cdot g^{\prime}(x) \)
\( f^{\prime}(x, y)=\frac{2}{2 x-5 y} \)
\( g(x)=2 x-5 y \Rightarrow 2 \)
\( f^{\prime}(3,1)=2^{2} \) ?
\( f(x, y)^{\prime}=\frac{1}{2 x-5 y} \cdot 2=\frac{2}{2 x-5 y} \)

Problem/Ansatz:

Weiß jemand warum das Ergebnis dieser Ableitung 2 ist? Was passiert mit den 2x ??

Answer 1

Es gilt:

f(x) = ln g(x) -> f '(x) = 1/g(x) * g '(x)

Die Ableitung von 2x ist 2.

Comments

Text erkannt:

\( g(x)=2 x \quad g^{\prime}(x)=2 \)
\( f(x)=\ln \quad f^{\prime}(x)=\frac{1}{x} \)
\( \Rightarrow \frac{1}{2 x} \cdot 2=\frac{2}{2 x} \quad ? ? ? \)

Das Ergebnis ist 2, aber ich habe ja immer noch die 2x hier, wie bekomme ich diese weg????

---

Die Ableitung von 2x ist 2.

Das Fragezeichen steht bei einer anderen 2.

---

Setze für x ein 2, für y 1!

2/(2*3-5*1) = 2

Answer 2

Aloha :)

Hängen Funktionen von mehreren Variablen ab, ist es in der Physik sehr oft interessant zu wissen, wie sich die Funktion ändert, wenn man nur genau eine Variable verändert und alle anderen Variablen festhält. Genau das liestet die partielle Ableitung.

In dem aktuellen Beispiel$$f(x;y)=\ln(2x-5y)$$hängt die Funktion von 2 Variablen \(x\) und \(y\) ab. Bei der partiellen Ableitung nach \(x\) wird nur \(x\) verändert, für alle anderen Variablen wählt man vor dem Ableiten einen beliebigen zugelassenen Wert und hält diesen dann während des Ableitens fest. Mit anderen Worten, alle Variablen werden wie konstante Zahlen behandelt, bis auf die eine Variable, nach der abgeleitet wird:$$\frac{\partial f(x;y)}{\partial x}=\underbrace{\frac{1}{2x-5y}}_{\text{äußere Abl.}}\cdot\underbrace{\frac{\partial}{\partial x}(2x-5y)}_{\text{innere Abl.}}=\frac{1}{2x-5y}\cdot2=\frac{2}{2x-5y}$$Bei der inneren Ableitung ist \(5y\) konstant und fällt daher einfach weg.