Welche der folgenden Aussagen ist nicht immer richtig?

Question

Aufgabe:

Welche der folgenden Aussagen ist nicht immer richtig? Und warum?

Problem/Ansatz:

a. Seien V, W endlichdimensionale Vektorräume und V isomorph zu W, so ist V ^∗ isomorph zu W^∗.

b. Sei <·,·>  ein Skalarprodukt auf einem reellen Vektorraum V und sei φ ∈ End(V ) orthogonal bezuglich <·,·>. Dann ist φ injektiv.

c. Fur n ≥ 2, det : M_n(R) →R ist eine Linearform auf R-Vektorraum M_n(R).

d. Seien V = M_n(R) und Spur : V →R, M 7→ Spur(M). Dann Spur ∈ V ^∗.

Vielen Dank im Voraus !

Answer 1

Wegen des Singulars muss ja wohl genau eine

nicht immer richtig sein. Das ist c.

Denn die Determinate von einer Summe ist

nicht immer gleich der Summe der Determinaten,

wie etwa das Beispiel mit den Summanden

1   0
0   1

und

2   0
0   2       zeigt   9 ≠ 1 + 4 .