Berechne die Kathetenlängen

Question

Zwei rechtwinklige Dreiecke mit einer gemeinsamen Kathete und den Hypotenusen 29 bzw. 101 liegen in dieser Weise aufeinander:

Die Hypotenusen schneiden sich im Abstand 16,5 von der längeren Kathete. Berechne die Kathetenlängen

Answer 1

Hallo Roland,

die gemeinsame Kathete hat die Länge \(20\) und die anderen beiden \(21\) und \(99\) ... und für eine elegante Begründung muss ich noch mal nachdenken ;-)

Nachtrag:

eine elegante Begründung habe ich nicht gefunden. Es läuft auf eine Gleichung eines Polynoms 4.Ordnung hinaus. Das erspar' ich mir hier jetzt. Die Aufgabe ist im Grunde ein Klassiker und hieß wohl ursprünglich die 'kreuzenden Leitern'. Spuren im Internet gibt es u.a. bei Spektrum und beim Matheplaneten. Wobei es wohl egal ist, ob die Höhe der 'Kreuzung' oder ihr Abstand von einer der 'Wände' gegeben ist.

Aber die oben erwähnte Gleichung muss man nicht lösen und noch nicht einmal aufstellen, um die Kathetenlängen zu berechnen. Ich habe schlicht die in der Aufgabe gegebenen Größen in Cinderella eingegeben:

https://jsfiddle.net/WernerSalomon/87c5vxd2/2/

Verschiebt man den Punkt \(B\) und damit die Länge der gemeinsamen Kathete, so sieht man, dass die 'Kreuzung' \(S\) auf der roten 16,5-Linie zu liegen kommt, wenn \(|BC|=20\) ist. Anschließend zu überprüfen, ob dies das exakte Ergebnis ist, ist dann kein Problem mehr.

Gruß Werner

Comments

Nachtrag hinzu gefügt.

Answer 2

Braucht man die 16,5 gar nicht ??? Meine Idee

(Scheints hab ich was übersehen. In der Tat, siehe Kommentare.)

Sei die gemeinsame Kathete y und die andere Kathete des

kleinen Dreiecks z. Die Dreiecke sind ähnlich, also gilt

y/109 = z/29 und  z^2 + y^2 = 29^2

z = 29y/109  und  (29y/109)^2 + y^2 = 29^2

gibt y = √ (9591921/12722)

Comments

Meinst du, die Dreiecke ABC und BCD seien ähnlich?

Was veranlasst dich zu dieser Überzeugung?

Und sollte die 109 dann nicht 101 heißen?

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Ist OK. Ich hatte fälschlicherweise angenommen, dass die Hypotenusen sich auch rechtwinklig schneiden.

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Ist aber etwa 55,024°.

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@mathef: Du stimmst also zu, wenn ich deine Lösung als 'nicht gelungen' bezeichne?

@hj2166: Wieder einer deiner Scherze?

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Was ist an   cos^-1(1679/2929)  scherzhaft ?

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Ja, der Winkel stimmt, aber welche Bedeutung hat er für die Lösung der Aufgabe? Ist er vielleicht als Folgerung aus den richtigen Ergebnissen errechnet worden?

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Wer hat meinen Kommentar ausgeblendet? Und warum?

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@Roland: Ich habe den Kommentar von dir wieder eingeblendet, wer ihn ausgeblendet hat, weiss ich nicht. Sind deine Kommentare am Schluss denn beide inzwischen überflüssig durch die andere Antwort?

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@Lu: Danke. Überflüssig ist mein letzter Kommentar nicht, weil ich noch auf eine Antwort von hj2166 warte.