Es gilt
\(P_{\overline{A}}(B)=\frac{\frac{4}{5} \cdot \frac{1}{5}}{\frac{4}{5}}\),
wenn \(A\) und \(\overline{B}\) stochastisch unabhängig sind.
Wenn \(A\) und \(\overline{B}\) stochastisch unabhängig sind, dann sind auch \(A\) und \(B\) stochastisch unabhängig und somit wäre dann
\(P_{A}(B)=\frac{\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{5}}{\frac{1}{5}} = \frac{1}{5}\).
Mindestens eines deiner Ergebnisse muss also falsch sein.
Es werden 5 Karten verdeckt in einer Reihe ausgelegt.
Sei O.B.d.A. (1, 2, 3, 4, 5) die ausgelegte Reihenfolge.
Zu PA(B)
Es gibt 5! = 120 Permutationen der Menge {1, 2, 3, 4, 5}. Das ist die Anzahl der möglichen Tips.
Es gibt 3! = 6 Permutation der Menge {3, 4, 5}. Das ist die Anzahl der Tips, bei denen die erste und die zweite Karte richtig getippt wurden.
Also ist
\(P(A\cap B) = \frac{3!}{5!} = \frac{6}{120} = \frac{1}{20}\).
Es gibt 4! = 24 Permutationen der Menge {2, 3, 4, 5}. Das ist die Anzahl der Tips, bei denen die erste Karte richtig getippt wurde.
Also ist
\(P(A) = \frac{24}{120}=\frac{1}{5}\)
Somit ist
\(P_A(B) = \frac{P(A\cap B)}{P(A)}=\frac{\frac{1}{20}}{\frac{1}{5}}=\frac{1}{4}\).
Zu P¬A(B)
Es gibt 5! - 4! Permutationen, bei denen die erste Zahl falsch getippt wurde.
Also ist
\(P(\overline{A}) = \frac{5! - 4!}{5!} = \frac{96}{120} = \frac{4}{5}\).
Es gibt 4! Permutationen, bei denen bei denen die zweite Karte richtig getippt wurde.
Es gibt 3! Permutationen, bei denen die ersten beiden Karten richtig getippt wurden.
Also gibt es 4! - 3! Permutationen, bei denen die zweite Karte richtig und die erste Karte falsch getippt wurde.
Somit ist
\(P(A\cap\overline{B}) = \frac{4!-3!}{5!} = \frac{3}{20}\)
und
\(P_{ \overline{A}(B) } = \frac{P(A\cap\overline{B})}{P(\overline{A})}=\frac{\frac{3}{20}}{\frac{4}{5}}=\frac{3}{16}\).
N.B. \(\frac{3}{16} < \frac{1}{5}\)
