Einen größten gemeinsamen Teiler bestimmen!

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie einen größten gemeinsamen Teiler \( d \) der folgenden Elemente \( a, b \) und stellen Sie ihn in der Form \( d=x a+y b \) dar.
(1) \( \operatorname{Im} \operatorname{Ring} R=\mathbb{Z} \operatorname{mit} a=12417233 \) und \( b=12422731 \)
(2) \( \operatorname{Im} \operatorname{Ring} R=\mathbb{Z}_{2}[X] \operatorname{mit} a=X^{10}+X^{6}+X^{4} \) und \( b=X^{12}+X^{2}+X+1 \)

Problem/Ansatz:

Ich habe diese Aufgabe beim Probeklausur, könnten Sie mir bitte helfen?!und wenn es möglich mit dem ganzen Rechnen-weg!

Vielen Dank im Voraus!

Answer 1

Verwende bei 1) den Euklidischen Algorithmus.

Bei 2) gibt es nur zwei mögliche Fälle:

Für X=0 gilt a=0 und b=1.

Für X=1 gilt a=1 und b=0.

Comments

Es tut mir leid, aber könnten Sie bitte mehr erklären was Sie meinen?!

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Mit

Verwende bei 1) den Euklidischen Algorithmus.

meine ich, dass du den Euklidischen Algorithmus verwenden sollst. Ich bin mir ganz sicher, dass euch dieser Algorithmus bereits in einer Lehrveranstaltung oder wenigstens in einem Skript vermittelt wurde, denn das ist eine typische Aufgabe, die man jemandem stellt, der die Verwendung dieses Algorithmus üben soll.

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bei 2) soll ich auch den Euklidischen Algorithmus verwenden?!

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Als Übung zu diesem Algorithmus kannst du das gern machen, einfacher ist aber die Betrachtung, dass du im Fall X=0 den ggT von 0 und 1 suchst und dass du im Fall X=1 den ggT von 1 und 0 suchst...